Distribució beta no central

Beta no central

Tipus	distribució de probabilitat
Notació	Beta(α, β, λ)
Paràmetres	α > 0 forma (real) β > 0 forma (real) λ ≥ 0 no centralitat (real)
Suport	${\displaystyle x\in [0;1]\!}$
fdp	(tipus I) ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {x^{\alpha +j-1}\left(1-x\right)^{\beta -1}}{\mathrm {B} \left(\alpha +j,\beta \right)}}}$
FD	(tipus I) ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}I_{x}\left(\alpha +j,\beta \right)}$
Esperança matemàtica	(tipus I) ${\displaystyle e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +1\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +1;\alpha ,\alpha +\beta +1;{\frac {\lambda }{2}}\right)}$ (vegeu funció hipergeomètrica confluent)
Variància	(tipus I) ${\displaystyle e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +2\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +2\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +2;\alpha ,\alpha +\beta +2;{\frac {\lambda }{2}}\right)-\mu ^{2}}$ on ${\displaystyle \mu }$ és l'esperança matemàtica. (vegeu funció hipergeomètrica confluent)

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució beta no central és una distribució de probabilitat contínua que és una generalització no central de la distribució beta (central).^[1]

La distribució beta no central (tipus I) és la distribució de la relació

${\displaystyle X={\frac {\chi _{m}^{2}(\lambda )}{\chi _{m}^{2}(\lambda )+\chi _{n}^{2}}},}$

on ${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$ és una variable aleatòria chi quadrat no central amb graus de llibertat m i un paràmetre de no centralitat ${\displaystyle \lambda }$, i ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ és una variable aleatòria central chi quadrat amb graus de llibertat n, independent de ${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$.^[1] En aquest cas, ${\displaystyle X\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}},\lambda \right)}$

Una distribució beta no central de tipus II és la distribució de la relació

${\displaystyle Y={\frac {\chi _{n}^{2}}{\chi _{n}^{2}+\chi _{m}^{2}(\lambda )}},}$

on la variable chi quadrat no central només es troba al denominador.^[1] Si ${\displaystyle Y}$ segueix la distribució tipus II, doncs ${\displaystyle X=1-Y}$ segueix una distribució de tipus I.

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat (tipus I) per a la distribució beta no central és:

${\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}.}$

on ${\displaystyle B}$ és la funció beta, ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ són els paràmetres de forma, i ${\displaystyle \lambda }$ és el paràmetre de no centralitat. La densitat de Y és la mateixa que la de 1-X amb els graus de llibertat invertits.^[1]

Funció de distribució acumulada

La funció de distribució acumulada de tipus I es representa normalment com una barreja de Poisson de variables aleatòries beta centrals:^[1] ${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha +j,\beta ),}$

on λ és el paràmetre de no centralitat, P (.) és la funció de massa de probabilitat de Poisson(λ/2), \alpha=m/2 i \beta=n/2 són paràmetres de forma i ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$ és la funció beta incompleta. Això és,

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(\alpha +j,\beta ).}$

Referències