Distribució recíproca

Infotaula distribució de probabilitatDistribució recíproca
Funció de densitat de probabilitat
Probability density function
Funció de distribució de probabilitat
Cumulative distribution function
Tipusdistribució de probabilitat contínua Modifica el valor a Wikidata
Paràmetres 0 < a < b , a , b ∈ R {\displaystyle 0<a<b,a,b\in \mathbb {R} }
Suport [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
fdp 1 x ln ⁡ b a {\displaystyle {\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}}
FD ln ⁡ x a ln ⁡ b a {\displaystyle {\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}}
Esperança matemàtica b − a ln ⁡ b a {\displaystyle {\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}}
Mediana a b {\displaystyle {\sqrt {ab}}}
Variància b 2 − a 2 2 ln ⁡ b a − ( b − a ln ⁡ b a ) 2 {\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}}

En probabilitat i estadística, la distribució recíproca, també coneguda com a distribució log-uniforme, és una distribució de probabilitat contínua. Es caracteritza perquè la seva funció de densitat de probabilitat, dins del suport de la distribució, és proporcional al recíproc de la variable.[1]

La distribució recíproca és un exemple de distribució inversa, i la recíproca (inversa) d'una variable aleatòria amb una distribució recíproca té una distribució recíproca.[2]

Definició

La funció de densitat de probabilitat (pdf) de la distribució recíproca és [3]

f ( x ; a , b ) = 1 x [ log e ⁡ ( b ) − log e ⁡ ( a ) ]  per  a ≤ x ≤ b  i  a > 0. {\displaystyle f(x;a,b)={\frac {1}{x[\log _{e}(b)-\log _{e}(a)]}}\quad {\text{ per }}a\leq x\leq b{\text{ i }}a>0.}

Aquí, a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} són els paràmetres de la distribució, que són els límits inferior i superior del suport, i log e {\displaystyle \log _{e}} és la funció logarítmica natural (el logaritme a la base e). La funció de distribució acumulada és

F ( x ; a , b ) = log e ⁡ ( x ) − log e ⁡ ( a ) log e ⁡ ( b ) − log e ⁡ ( a )  per  a ≤ x ≤ b . {\displaystyle F(x;a,b)={\frac {\log _{e}(x)-\log _{e}(a)}{\log _{e}(b)-\log _{e}(a)}}\quad {\text{ per }}a\leq x\leq b.} [4]

Aplicacions

La distribució recíproca té una importància considerable en l'anàlisi numèrica, perquè les operacions aritmètiques d'un ordinador transformen mantisses amb distribucions arbitràries inicials en la distribució recíproca com a distribució limitadora.[5]

Referències

  1. ↑ «Reciprocal Distribution: Definition & Examples» (en anglès). https://www.statisticshowto.com.+[Consulta: 9 juliol 2023].
  2. ↑ «Does the reciprocal of a probability represent anything?» (en anglès). https://stats.stackexchange.com.+[Consulta: 9 juliol 2023].
  3. ↑ «mean and variance of reciprocal normal distribution» (en anglès). https://math.stackexchange.com.+[Consulta: 9 juliol 2023].
  4. ↑ Friar, J. L.; Goldman, T.; Pérez-Mercader, J. «Ubiquity of Benford's law and emergence of the reciprocal distribution» (en anglès). Physics Letters A, 380, 22, 20-05-2016, pàg. 1895–1899. DOI: 10.1016/j.physleta.2016.03.045. ISSN: 0375-9601.
  5. ↑ Hamming R. W. (1970) "On the distribution of numbers", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625