Passeio aleatório de tempo contínuo

Na matemática, um passeio aleatório de tempo contínuo (PATC) é uma generalização de um passeio aleatório em que a partícula errante espera por um tempo aleatório entre os saltos.^[1] É um processo de salto estocástico com distribuições arbitrárias de comprimentos de salto e tempos de parada.^[2] De forma mais generalizada, pode ser visto como um caso especial de um processo de renovação de Markov.

Motivação

O PATC foi introduzido pelos matemáticos norte-americanos Elliott Waters Montroll e George Herbert Weiss em 1965 como uma generalização do processo de difusão física para descrever efetivamente a difusão anômala, isto é, os casos superdifusivo e subdifusivo.^[3] Uma formulação equivalente do PATC é dada por equações mestre generalizadas.^[4] Uma conexão entre PATCs e equações de difusão com derivadas de tempo fracionárias foi estabelecida. De forma semelhante, equações de difusão fracionárias de tempo-espaço podem ser consideradas PATCs com saltos continuamente distribuídos ou aproximações em continuidade de PATCs em reticulados.

Formulação

Uma formulação simples de um PATC consiste em considerar o processo estocástico ${\displaystyle X(t)}$ definido por:

${\displaystyle X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i},}$

cujos incrementos ${\displaystyle \Delta X_{i}}$ são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas que assumem valores em um domínio ${\displaystyle \Omega }$, sendo ${\displaystyle N(t)}$ o número de saltos no intervalo ${\displaystyle (0,t)}$. A probabilidade de que o processo assuma o valor ${\displaystyle X}$ no tempo ${\displaystyle t}$ é dada por:

${\displaystyle P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_{n}(X).}$

Aqui, ${\displaystyle P_{n}(X)}$ é a probabilidade que o processo assuma o valor ${\displaystyle X}$ depois de ${\displaystyle n}$ saltos e ${\displaystyle P(n,t)}$ é a probabilidade de ter ${\displaystyle n}$ saltos depois do tempo ${\displaystyle t}$.^[5]

Fórmula de Montroll–Weiss

Denotamos por ${\displaystyle \tau }$ o tempo de espera entre dois saltos de ${\displaystyle N(t)}$ e por ${\displaystyle \psi (\tau )}$ sua distribuição. A transformada de Laplace de ${\displaystyle \psi (\tau )}$ é definida por:

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(s)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-\tau s}\psi (\tau ).}$

De forma semelhante, a função característica da distribuição de saltos ${\displaystyle f(\Delta X)}$ é dada por sua transformada de Fourier:

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }d(\Delta X)e^{ik\Delta X}f(\Delta X).}$

Pode-se mostrar que a transformada de Laplace–Fourier da probabilidade ${\displaystyle P(X,t)}$ é dada por:

${\displaystyle {\hat {\tilde {P}}}(k,s)={\frac {1-{\tilde {\psi }}(s)}{s}}{\frac {1}{1-{\tilde {\psi }}(s){\hat {f}}(k)}}.}$

Esta é a chamada fórmula de Montroll–Weiss.^[6]

Exemplos

O processo de Wiener é o exemplo padrão de um passeio aleatório de tempo contínuo no qual os tempos de espera são exponenciais e os saltos são contínuos e normalmente distribuídos.^[7]

Referências