Equação de Tanaka

Em matemática, a equação de Tanaka é um exemplo de equação diferencial estocástica que admite uma solução fraca, mas que não tem nenhuma solução forte. Recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka.^[1]

Definição

A equação de Tanaka é uma equação diferencial estocástica unidimensional:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} B_{t},}$

dirigida pelo movimento browniano canônico ${\displaystyle B}$ com condição inicial ${\displaystyle X_{0}=0}$, em que ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ denota a função sinal:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}}$

Destaca-se o valor não convencional de ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)}$. A função sinal não satisfaz a condição de continuidade de Lipschitz exigida para teoremas usuais que garantem a existência e a unicidade de soluções fortes. A equação de Tanaka não tem nenhuma solução forte, isto é, uma para a qual a versão ${\displaystyle B}$ do movimento browniano é dada antecipadamente e a solução ${\displaystyle X}$ é adaptada à filtração gerada por ${\displaystyle B}$ e pelas condições iniciais. Entretanto, a equação de Tanaka tem uma solução fraca, uma para a qual o processo ${\displaystyle X}$ e a versão do movimento browniano são ambos especificados como parte da solução, em vez do movimento browniano sendo dado a priori. Neste caso, simplesmente escolhe-se ${\displaystyle X}$ para ser qualquer movimento browniano ${\displaystyle {\hat {B}}}$ e define-se ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ por:

${\displaystyle {\tilde {B}}_{t}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\mathrm {d} X_{s},}$

isto é,

${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {B}}_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} X_{t}.}$

Assim,

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t},}$

e, então, ${\displaystyle X}$ é uma solução fraca da equação de Tanaka. Além disto, esta solução é fracamente única, isto é, qualquer outra solução fraca deve ter a mesma lei.^[1]

Referências