Espaço de Wiener abstrato

Um espaço de Wiener abstrato é um objeto matemático em teoria da medida, usado para construir uma medida razoável (estritamente positiva e localmente finita) de um espaço vetorial de dimensões infinitas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener. A construção original de Wiener, conhecida como espaço de Wiener clássico, só se aplicava ao espaço de caminhos contínuos de valores reais referentes ao intervalo unitário. Leonard Gross^[1] propôs a generalização ao caso de um espaço de Banach separável comum.

O teorema da estrutura para medidas gaussianas afirma que todas as medidas gaussianas podem ser representadas pela construção de um espaço de Wiener abstrato.

Definição

Considere ${\displaystyle H}$ um espaço de Hilbert separável, ${\displaystyle E}$ um espaço de Banach separável e ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$ um operador linear contínuo injetor com imagem densa (isto é, o fechamento de ${\displaystyle i(H)}$ em ${\displaystyle E}$ é o próprio ${\displaystyle E}$) que radonifica a medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico ${\displaystyle \gamma ^{H}}$ em ${\displaystyle H}$. Então, o triplo ${\displaystyle (i,H,E)}$(ou simplesmente ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$) é chamado de espaço de Wiener abstrato. A medida ${\displaystyle \gamma }$ induzida em ${\displaystyle E}$ é chamada de medida de Wiener abstrata de ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$.

O espaço de Hilbert ${\displaystyle H}$ é às vezes chamado de espaço de Cameron-Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor.

Algumas fontes^[2] consideram ${\displaystyle H}$ um subespaço de Hilbert densamente incorporado do espaço de Banach ${\displaystyle E}$, sendo ${\displaystyle i}$ simplesmente a inclusão de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle E}$. Não há perda de generalização ao tomar o ponto de vista dos "espaços incorporados" em vez do ponto de vista dos "espaços diferentes" mencionado acima.

Propriedades

• ${\displaystyle \gamma }$ é uma medida de Borel: é definida na sigma-álgebra de Borel gerada pelos subconjuntos abertos de ${\displaystyle E}$.
• ${\displaystyle \gamma }$ é uma medida gaussiana no sentido de que ${\displaystyle f_{*}(\gamma )}$ é uma medida gaussiana em ${\displaystyle R}$ para toda forma linear ${\displaystyle f\in E^{*}}$, ${\displaystyle f\neq 0}$.
• Portanto, ${\displaystyle \gamma }$ é estritamente positiva e localmente finita.
• Se ${\displaystyle E}$ é um espaço de Banach de dimensões finitas, podemos considerar que ${\displaystyle E}$ é isomórfico a ${\displaystyle R^{n}}$ para algum ${\displaystyle n\in N}$. Considerar ${\displaystyle H=R^{n}}$ e ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$ o isomorfismo canônico dá a medida de Wiener abstrata ${\displaystyle \gamma =\gamma ^{n}}$, a medida gaussiana padrão de ${\displaystyle R^{n}}$.
• O comportamento de ${\displaystyle \gamma }$ sob translação é descrito pelo teorema de Cameron-Martin.
• Dados dois espaços de Wiener abstratos ${\displaystyle i_{1}:H_{1}\rightarrow E_{1}}$ e ${\displaystyle i_{2}:H_{2}\rightarrow E_{2}}$, pode-se mostrar que ${\displaystyle \gamma }$₁₂ ${\displaystyle =\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$. Em detalhe:

${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\gamma ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\gamma ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\gamma ^{H_{2}}\right),}$

isto é, a medida de Wiener abstrata ${\displaystyle \gamma }$₁₂ no produto cartesiano ${\displaystyle E_{1}\times E_{2}}$ é o produto das medidas de Wiener abstratas nos dois fatores ${\displaystyle E_{1}}$ e ${\displaystyle E_{2}}$.

• Se ${\displaystyle H}$ (e ${\displaystyle E}$) são de infinitas dimensões, a imagem de ${\displaystyle H}$ é um conjunto de medida zero, isto é, ${\displaystyle \gamma (i(H))=0}$. Este fato é uma consequência da lei zero-um de Kolmogorov.

Espaço de Wiener clássico

Ver artigo principal: Espaço de Wiener

O espaço de Wiener abstrato mais usado é o espaço de caminhos contínuos, conhecido como espaço de Wiener clássico. Este é o espaço de Wiener abstrato com

${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{caminhos a partir de 0 com primeira derivada}}\in L^{2}\}}$

com produto interno

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t,}$

${\displaystyle E=C_{0}([0,T];R^{n})}$com norma

${\displaystyle \|\sigma \|_{C_{0}}:=\sup _{t\in [0,T]}\|\sigma (t)\|_{\mathbb {R} ^{n}},}$

e função inclusão ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$. Esta medida ${\displaystyle \gamma }$ é chamada de medida de Wiener clássica ou simplesmente medida de Wiener.

Referências