在數學 和信号处理 中，Z轉換 （英語：Z-transform ）把離散 的實數 或複數时间訊號從時域 轉為复頻域 （z域或z平面）表示。
可以把它认为是拉普拉斯变换 的离散时间等价。在时标微积分 中会探索它们的相似性。
历史 现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯 就已了解，而1947年W. Hurewicz （英语 ： Witold Hurewicz 差分方程 的一种容易处理的方式。[1] 約翰·拉加齊尼 （英语 ： John R. Ragazzini 查德 称其为“Z变换”。[2] [3]
約翰·拉加齊尼 （英语 ： John R. Ragazzini 高级Z变换 。[4] [5]
Z变换中包含的思想在数学里称作母函数 方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗 与概率论结合将其引入。[6] 洛朗级数 。
定義 像很多积分变换 一样，Z变换可以有单边和双边定义。
双边Z变换 双边 Z轉換把离散時域信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 形式幂级数 X ( z ) {\displaystyle X(z)}
X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}} 當中 n {\displaystyle n} z {\displaystyle z}
z = A e j ϕ = A ( cos ϕ + j sin ϕ ) {\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,} 其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位 ，而 ɸ 为辐角 相位角 ），用弧度 表示。
单边Z变换 另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n] ，单边 Z变换定义为
X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.} 在信号处理 中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统 的单位冲激响应 。
单边Z变换的一个重要例子是概率母函数 ，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s) ，用 s = z −1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。
地球物理学定义 地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z −1 的。例如，Enders Anthony Robinson （維基數據所列 ： Q102443451 [7] Ernest R. Kanasewich （維基數據所列 ： Q112388807 [8]
X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n x [ n ] z n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.} 这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆 内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。[7] [8]
逆Z变换 逆 Z变换为
x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } = 1 2 π j ∮ C X ( z ) z n − 1 d z {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz} 其中 C 是完全处于收敛域 （ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2 ），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。
这个曲线积分 的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换 ：
x [ n ] = 1 2 π ∫ − π + π X ( e j ω ) e j ω n d ω . {\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .} 有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法 方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换 （DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。
收敛域 收敛域 （ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。
R O C = { z : | ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n | < ∞ } {\displaystyle ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}} 例1（收敛域不存在） 令 x [ n ] = ( 0.5 ) n {\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}} ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} x [ n ] {\displaystyle x[n]}
x [ n ] = { ⋯ , 0.5 − 3 , 0.5 − 2 , 0.5 − 1 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } = { ⋯ , 2 3 , 2 2 , 2 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.} 观察上面的和
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n → ∞ . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .} 因此，没有一个 z {\displaystyle z}
例2（因果的收敛域） ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 |z | = 0.5 这个圆用虚线圆表示（內圈者） 令 x [ n ] = 0.5 n u [ n ] {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ } u 是单位阶跃函数 ）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到
x [ n ] = { ⋯ , 0 , 0 , 0 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.} 观察这个和
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = 0 ∞ 0.5 n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( 0.5 z ) n = 1 1 − 0.5 z − 1 . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.} 最后一个等式来自无穷几何级数 ，而等式仅在 |0.5z −1 | < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 |z | > 0.5。因此，收敛域为 |z | > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。
例3（非因果的收敛域） ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 |z | = 0.5 这个圆用虚线圆表示 令 x [ n ] = − ( 0.5 ) n u [ − n − 1 ] {\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ } u 是单位阶跃函数 ）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到
x [ n ] = { ⋯ , − ( 0.5 ) − 3 , − ( 0.5 ) − 2 , − ( 0.5 ) − 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.} 观察这个和
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = − ∑ n = − ∞ − 1 0.5 n z − n = − ∑ m = 1 ∞ ( z 0.5 ) m = 1 − 1 1 − 0.5 − 1 z = 1 1 − 0.5 z − 1 {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}} 再次使用无穷几何级数 ，此等式只在 |0.5−1 z | < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z | < 0.5。因此，收敛域为 |z | < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。
本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。
实例结论 实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时， x [ n ] {\displaystyle x[n]} X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图 （英语 ： pole–zero plot 永远不会 包含极点。
在例2中，因果系统产生一个包含 |z | = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 | z | = 0 {\displaystyle |z|=0}
ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |z | < 0.75 在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z | = ∞ 也不包含 |z | = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，
x [ n ] = 0.5 n u [ n ] − 0.75 n u [ − n − 1 ] {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]} 的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z | < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)n u [n ] 和一个非因果项 −(0.75)n u [−n −1]。
一个系统的稳定性 可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z | = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z | > 0.5 包含单位圆。
如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 x [ n ] {\displaystyle x[n]} x [ n ] {\displaystyle x[n]}
如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。
通过这种方法可以找到唯一的 x [ n ] {\displaystyle x[n]}
性质 Z变换性质 时域 Z域 证明 收敛域 记法 x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}} X ( z ) = Z { x [ n ] } {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}} r 2 < | z | < r 1 {\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}} 線性 a 1 x 1 [ n ] + a 2 x 2 [ n ] {\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]} a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)} X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 x 1 ( n ) + a 2 x 2 ( n ) ) z − n = a 1 ∑ n = − ∞ ∞ x 1 ( n ) z − n + a 2 ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n ) z − n = a 1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}} 包含 ROC1 ∩ ROC2 时间膨胀 x K [ n ] = { x [ r ] , n = r K 0 , n ≠ r K {\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}} r : 整数
X ( z K ) {\displaystyle X(z^{K})} X K ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x K ( n ) z − n = ∑ r = − ∞ ∞ x ( r ) z − r K = ∑ r = − ∞ ∞ x ( r ) ( z K ) − r = X ( z K ) {\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}} R 1 K {\displaystyle R^{\frac {1}{K}}} 降采样 x [ n K ] {\displaystyle x[nK]} 1 K ∑ p = 0 K − 1 X ( z 1 K ⋅ e − i 2 π K p ) {\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)} ohio-state.edu （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） 或 ee.ic.ac.uk （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） 时移 x [ n − k ] {\displaystyle x[n-k]} z − k X ( z ) {\displaystyle z^{-k}X(z)} Z { x [ n − k ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n − k ] z − n = ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − ( j + k ) j = n − k = ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − j z − k = z − k ∑ j = − k ∞ x [ j ] z − j = z − k ∑ j = 0 ∞ x [ j ] z − j x [ β ] = 0 , β < 0 = z − k X ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}} ROC，除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 z = ∞ Z域的 尺度性质
a n x [ n ] {\displaystyle a^{n}x[n]} X ( a − 1 z ) {\displaystyle X(a^{-1}z)} Z { a n x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ a n x ( n ) z − n = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( a − 1 z ) − n = X ( a − 1 z ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}} | a | r 2 < | z | < | a | r 1 {\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}} 时间反转 x [ − n ] {\displaystyle x[-n]} X ( z − 1 ) {\displaystyle X(z^{-1})} Z { x ( − n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x ( − n ) z − n = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) z m = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) ( z − 1 ) − m = X ( z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}} 1 r 1 < | z | < 1 r 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}} 共轭复数 x ∗ [ n ] {\displaystyle x^{*}[n]} X ∗ ( z ∗ ) {\displaystyle X^{*}(z^{*})} Z { x ∗ ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ x ∗ ( n ) z − n = ∑ n = − ∞ ∞ [ x ( n ) ( z ∗ ) − n ] ∗ = [ ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( z ∗ ) − n ] ∗ = X ∗ ( z ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}} 实部 Re { x [ n ] } {\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}} 1 2 [ X ( z ) + X ∗ ( z ∗ ) ] {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]} 虚部 Im { x [ n ] } {\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}} 1 2 j [ X ( z ) − X ∗ ( z ∗ ) ] {\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]} 微分 n x [ n ] {\displaystyle nx[n]} − z d X ( z ) d z {\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}} Z { n x ( n ) } = ∑ n = − ∞ ∞ n x ( n ) z − n = z ∑ n = − ∞ ∞ n x ( n ) z − n − 1 = − z ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ( − n z − n − 1 ) = − z ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) d d z ( z − n ) = − z d X ( z ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}} 卷积 x 1 [ n ] ∗ x 2 [ n ] {\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]} X 1 ( z ) X 2 ( z ) {\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)} Z { x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) } = Z { ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) x 2 ( n − l ) } = ∑ n = − ∞ ∞ [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) x 2 ( n − l ) ] z − n = ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) [ ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n − l ) z − n ] = [ ∑ l = − ∞ ∞ x 1 ( l ) z − l ] [ ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n ) z − n ] = X 1 ( z ) X 2 ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}} 包含 ROC1 ∩ ROC2 互相关 r x 1 , x 2 = x 1 ∗ [ − n ] ∗ x 2 [ n ] {\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]} R x 1 , x 2 ( z ) = X 1 ∗ ( 1 z ∗ ) X 2 ( z ) {\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)} 包含 X 1 ( 1 z ∗ ) {\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})} X 2 ( z ) {\displaystyle X_{2}(z)} 一阶差分 x [ n ] − x [ n − 1 ] {\displaystyle x[n]-x[n-1]} ( 1 − z − 1 ) X ( z ) {\displaystyle (1-z^{-1})X(z)} 包含 X1 (z) 与 z ≠ 0 的ROC的交集 累积 ∑ k = − ∞ n x [ k ] {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]} 1 1 − z − 1 X ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)} ∑ n = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ n x [ k ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ ( x [ n ] + ⋯ + x [ − ∞ ] ) z − n = X [ z ] ( 1 + z − 1 + z − 2 + ⋯ ) = X [ z ] ∑ j = 0 ∞ z − j = X [ z ] 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}} 乘法 x 1 [ n ] x 2 [ n ] {\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]} 1 j 2 π ∮ C X 1 ( v ) X 2 ( z v ) v − 1 d v {\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v} -
帕塞瓦尔定理
∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] x 2 ∗ [ n ] = 1 j 2 π ∮ C X 1 ( v ) X 2 ∗ ( 1 v ∗ ) v − 1 d v {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v} 初值定理 x [n ] 为因果的，那么
x [ 0 ] = lim z → ∞ X ( z ) . {\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).} 终值定理 z −1)X (z ) 的极点在单位圆内，则
x [ ∞ ] = lim z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) . {\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).} 常见的Z变换对表 这里：
u : n ↦ u [ n ] = { 1 , n ≥ 0 0 , n < 0 {\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}} 是单位阶跃函数 而
δ : n ↦ δ [ n ] = { 1 , n = 0 0 , n ≠ 0 {\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}} 是离散时间单位冲激函数 。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分 ，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。
信号， x [ n ] {\displaystyle x[n]} Z变换， X ( z ) {\displaystyle X(z)} ROC 1 δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]} 1 所有 z 2 δ [ n − n 0 ] {\displaystyle \delta [n-n_{0}]} z − n 0 {\displaystyle z^{-n_{0}}} z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} 3 u [ n ] {\displaystyle u[n]\,} 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 4 e − α n u [ n ] {\displaystyle e^{-\alpha n}u[n]} 1 1 − e − α z − 1 {\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}} | z | > e − α {\displaystyle |z|>e^{-\alpha }\,} 5 − u [ − n − 1 ] {\displaystyle -u[-n-1]} 1 1 − z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 6 n u [ n ] {\displaystyle nu[n]} z − 1 ( 1 − z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 7 − n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -nu[-n-1]\,} z − 1 ( 1 − z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 8 n 2 u [ n ] {\displaystyle n^{2}u[n]} z − 1 ( 1 + z − 1 ) ( 1 − z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} 9 − n 2 u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,} z − 1 ( 1 + z − 1 ) ( 1 − z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} 10 n 3 u [ n ] {\displaystyle n^{3}u[n]} z − 1 ( 1 + 4 z − 1 + z − 2 ) ( 1 − z − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1\,} 11 − n 3 u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{3}u[-n-1]} z − 1 ( 1 + 4 z − 1 + z − 2 ) ( 1 − z − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1\,} 12 a n u [ n ] {\displaystyle a^{n}u[n]} 1 1 − a z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 13 − a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -a^{n}u[-n-1]} 1 1 − a z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|} 14 n a n u [ n ] {\displaystyle na^{n}u[n]} a z − 1 ( 1 − a z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 15 − n a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -na^{n}u[-n-1]} a z − 1 ( 1 − a z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|} 16 n 2 a n u [ n ] {\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]} a z − 1 ( 1 + a z − 1 ) ( 1 − a z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 17 − n 2 a n u [ − n − 1 ] {\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]} a z − 1 ( 1 + a z − 1 ) ( 1 − a z − 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}} | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|} 18 cos ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]} 1 − z − 1 cos ( ω 0 ) 1 − 2 z − 1 cos ( ω 0 ) + z − 2 {\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 19 sin ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]} z − 1 sin ( ω 0 ) 1 − 2 z − 1 cos ( ω 0 ) + z − 2 {\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}} | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} 20 a n cos ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]} 1 − a z − 1 cos ( ω 0 ) 1 − 2 a z − 1 cos ( ω 0 ) + a 2 z − 2 {\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|} 21 a n sin ( ω 0 n ) u [ n ] {\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]} a z − 1 sin ( ω 0 ) 1 − 2 a z − 1 cos ( ω 0 ) + a 2 z − 2 {\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}} | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|}
与傅里叶级数和傅里叶变换的关系 对于区域 |z|=1（称为单位圆 ）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数 ：
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},} (Eq.1
也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换 （DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换 的周期性求和 （英语 ： periodic summation
∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) ⏞ x [ n ] e − j 2 π f n T ⏟ DTFT = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X ( f − k / T ) . {\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).} 若T的單位是秒， f {\displaystyle \textstyle f} 赫兹 。比較兩個數列可得 ω = 2 π f T {\displaystyle \textstyle \omega =2\pi fT} 标准化频率 （英语 ： Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations f = 1 T {\displaystyle \textstyle f={\frac {1}{T}}} f = ω 2 π T , {\displaystyle \textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},} Eq.1 :
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X ( ω 2 π T − k T ) ⏟ X ( ω − 2 π k 2 π T ) . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.} 若數列x(nT)表示线性时不变系统 的冲激响应 ，這些函數也稱為频率响应 ，當x(nT)是週期性數列，其DTFT 在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函数 表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的离散傅里叶变换 來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性 ）
和拉氏变換的關係 双线性变换 双线性变换 可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：
s = 2 T ( z − 1 ) ( z + 1 ) {\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}} 將一個拉氏域的函數 H ( s ) {\displaystyle H(s)} H ( z ) {\displaystyle H(z)}
z = 2 + s T 2 − s T {\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}} 從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個j Ω軸映射到Z平面的单位圆 內。因此，傅立葉變換（在j Ω axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括j Ω軸。
线性常系数差分方程 线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均 的线性系统表达形式。
∑ p = 0 N y [ n − p ] α p = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q {\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}} 上面等式两边可以同时除以 α0 ，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成
y [ n ] = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q − ∑ p = 1 N y [ n − p ] α p . {\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.} LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p] 、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。
传递函数 对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到
Y ( z ) ∑ p = 0 N z − p α p = X ( z ) ∑ q = 0 M z − q β q {\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}} 整理结果
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ q = 0 M z − q β q ∑ p = 0 N z − p α p = β 0 + z − 1 β 1 + z − 2 β 2 + ⋯ + z − M β M α 0 + z − 1 α 1 + z − 2 α 2 + ⋯ + z − N α N . {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.} 零点和极点 由代数基本定理 得知分子 有 M 个根（对应于 H 的零点 ）和分母 有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数 为
H ( z ) = ( 1 − q 1 z − 1 ) ( 1 − q 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − q M z − 1 ) ( 1 − p 1 z − 1 ) ( 1 − p 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − p N z − 1 ) {\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}} 其中 qk 为 k 阶零点，pk 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图 （英语 ： pole–zero plot
此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。
通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解 可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应 和线性常系数差分方程。
输出响应 如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z) 。通过对 Y(z) 部分分式分解 并取逆Z变换可以得到输出 y[n] 。在实际运用中，在分式分解 Y ( z ) z {\displaystyle {\frac {Y(z)}{z}}} z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。
参见 参考文献 ^ E. R. Kanasewich. Time sequence analysis in geophysics 3rd. University of Alberta. 1981: 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1. ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh. The analysis of sampled-data systems. Trans. Am. Inst. Elec. Eng. 1952, 71 (II): 225–234. ^ Cornelius T. Leondes. Digital control systems implementation and computational techniques. Academic Press. 1996: 123. ISBN 978-0-12-012779-5. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons. 1958. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. 1973. ISBN 0-88275-122-0. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. John Wiley & Sons. 1964: 1. ^ 7.0 7.1 Enders A. Robinson, Sven Treitel. Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing. SEG Books. 2008: 163, 375–376. ISBN 9781560801481. ^ 8.0 8.1 E. R. Kanasewich. Time Sequence Analysis in Geophysics. University of Alberta. 1981: 186, 249. ISBN 9780888640741. 延伸阅读 Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform , Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1. Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2. Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7. 外部链接 Hazewinkel, Michiel (编), Z-transform, 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Z-Transform table of some common Laplace transforms （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） Mathworld's entry on the Z-transform （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） Z-Transform threads in Comp.DSP （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） Z-Transform Module by John H. Mathews A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） 理論 子領域 技術 取樣 混疊 奈奎斯特率 （英语 ： Nyquist rate 頻率 升取樣 降取樣 （英语 ： Undersampling 過取樣 欠取樣 （英语 ： Undersampling 取樣率 量化
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f6e27003f8c3271124b8af3ea0092c2906ae3e)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e560ddcffcbab6fa176f4d2dd8e3fe60905b55)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af64bf848f2f92b8aab0469ae4c87827d8092916)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872e380a9d155a1ee7a3cb5e2ee0e4f033927995)
![{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957cad6f61b3feec604ba454617acaea7beae9be)
![{\displaystyle ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad42c66ac900377f174a50adb30ad596be17f9a)
![{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c408d5a661d79f93d560c3eacffbdd046f739269)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0a16581c6c01c2dbd61d6e345d0c1daf45a4ef)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c1521fe62d231dfb0fae8a8583d4fad0882b0)
![{\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce739a4e3801e9ac23c8bcc5c405219add4638b0)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7beddbdd74691d956130f78850030ad4d8877e)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcec1d978fd88c533b13fc81a3a7b1dcb784bba)
![{\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bed96a543b90d76dc434ec8499eaf435362d6b)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf2b69a4dafb9fc491500100fe2de6c44bfcf08)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57fe1a23dddbf87776696e5e0073d09629cead3)
![{\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a35aa48e0a80015443d04e9c2af649eb8979eab)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e642979d4bbea30a164bd3c3c0478dd4f42c2d)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aefa942e18926dd24f0a75ca1f495002704e35f)
![{\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97ce6ff93cf3ccb0258ad080057561fe1defb16)
![{\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c7af54b32399d8830007c0775bd09b9474fe9b)
![{\displaystyle x[nK]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a010d8a7bcfb8e917ed26c8d11ffd94640a049)
![{\displaystyle x[n-k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4fa5b96ade59fee1aa33657f28a6ed743fee0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d295516d056488d044f4f7b79ad32c636e864c49)
![{\displaystyle a^{n}x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6e6317bd81d87cfd18bb11f24d33e311654f66)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f8477f13051fac644aa7c6b4d06995580f049f)
![{\displaystyle x[-n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2958bd31d147e297b9544bac8ecb293bc64c54e2)
![{\displaystyle x^{*}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebfe6cd83983535242e2e7090ec8afd92fda490)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8a171fcc40b4257e1567ce9b1381ff4f0dfcac)
![{\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e937c065ea014ea1a800b7d65e8598dd53b04fe)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52189e67c3e7a9197f1fef536da483dd8298f088)
![{\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448ba3d404961701358a86f290f7ed4c584331b1)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93477d1ad565aba61bd29e4fb3e6a036797a5036)
![{\displaystyle nx[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adf25e4ef78078f099b667b5ae491f9de3d61ff)
![{\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c729fc738effd3f2e021a0aafd5b601e5636866e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3985e381c0872301ffe55acf809d1a3f73142d0d)
![{\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c75f9bd7c335ef723987776fe4b720fdd74ce7)
![{\displaystyle x[n]-x[n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2294625d3fa83bdd70d50e99c19cc0ad4f103ac7)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d6540c00220987b9e9b320d050bcbba37c4b4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3be12bdb3e4c8f0f0f7c7361b8289f9c62cb56)
![{\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6743e17b24b69f8e3967724f056c04b779ee3e)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff45b737972bd6dc88fc06588ae6e08910d74e8b)
![{\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815494d8476445adef605f74b5b5a6765fb203c4)
![{\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1462160ef0f0d8de8000f78372f2a1b21c2a6031)
![{\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c15373dbd58410ab17d3c2c7ebe2123e276298)
![{\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c07b1365b8d2566271e4752535678f92aedafa)
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa)
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdb0265027e056f16fce87ab282b57cb03c4f8c)
![{\displaystyle u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e693a2911b29e6c8d440d97e46d27760559af7c5)
![{\displaystyle e^{-\alpha n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074d2265c2c901f6c15c3fbcbbf54d3a420d2eb)
![{\displaystyle -u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dd7dba0f892e5bcad792136d96cd5f5548a327)
![{\displaystyle nu[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a28e84b105a96db578fb6e6b047465468b77ec)
![{\displaystyle -nu[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c7bfd00539cf805ba91e15a60b73576194dbd1)
![{\displaystyle n^{2}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea874c2bd6b83f29b93caf0cbe50ee9131eaebc2)
![{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9d247970a92c7c6a69da9b5a272190dadcd24)
![{\displaystyle n^{3}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e2a53a00fc122eed75716c0c58cf9e58a0f38d)
![{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd111768ef860fc18a2c93e5dc2fb4b03dfab8c)
![{\displaystyle a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef62e50254aa3175939a01611766c01f9bf7b39)
![{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4718b1c4477718ebeb49ac1fc41415cadeadf1e7)
![{\displaystyle na^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5885cf352282908bc931ed56ad572fa84f6235c)
![{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d2fae6bc70beb0ec9d5881b38a29d427823fad)
![{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68eda406d1e088553723c0395d4ce2cdeff46e)
![{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf891898f79a3cd0cf05030244592b6aaad421)
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6911a3c468c99d1dc042b3b5015b48108d9476aa)
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59eccb10aa95ef5ba0a1ed904aee27526fe377d)
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b90c4e4b46e7725d99960e3f99a846c65a5d5da)
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4663af1f68929f4e26833381893076c001dfbebb)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14ea7fbaab1d911450572d089188f9ed49bd4d1)
![{\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a954eea32605d9f5457cf746677b7d04bc788ef6)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3539536a288102ecbb30aaf9c3aedb72241a0df2)
![{\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f003f262cbe68dc97f84a5dac9e927a3f2c52858)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea05d580f1b1fecb9f9aa3ec3d80a9e0d8b02b1)
