Modus tollens

Satslogiska slutledningsregler
  • Modus ponendo ponens
  • Modus tollendo tollens
  • Modus tollendo ponens
  • Deduktionsteoremet
  • Reductio ad absurdum
  • Och-eliminering
  • Och-introducering
  • Eller-eliminering
  • Eller-introducering
  • HS-regeln
 Predikatlogiska slutledningsregler 
  • Universell generalisering
  • Existentiell generalisering
  • Universell specifikation
  • Existentiell specifikation
Andra slutledningsregler
  • Dilemma
Denna tabell: visa  redigera

Modus tollens (latin: metod för förnekande) är en förkortad form av modus tollendo tollens, som är en slutledningsregel inom logiken. Regeln kan formellt skrivas:

P Q , ¬ Q ¬ P {\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}

vilket betyder att av två premisser, där den ena är en materiell implikation och den andra är negationen av implikationens andra led, följer negationen av implikationens första led.

Från premissena P→Q och ¬ {\displaystyle \neg } Q kan således slutsatsen ¬ {\displaystyle \neg } P dras.

Regeln är relaterad till egenskapen kontraposition av den materiella implikationen, det vill säga att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A, vilken senare sats tillsammans med ¬ {\displaystyle \neg } B och slutledningsregeln modus ponens ger ¬ {\displaystyle \neg } A.

Exempel: Från "Om min klocka går rätt, så är tåget försenat" och "Tåget är inte försenat" kan man dra slutsatsen "Min klocka går inte rätt".

Formellt kan regeln även skrivas:

P Q , ¬ Q ¬ P {\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P} , där {\displaystyle \vdash } betyder satslogisk konsekvens.

Regeln uttryckt som en tautologi eller som ett teorem i satslogiken skrivs:

( ( P Q ) ¬ Q ) ¬ P {\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}

Inom predikatlogik finns följande formulering:

x : P ( x ) Q ( x ) x : ¬ Q ( x ) x : ¬ P ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\forall x:&P(x)\rightarrow Q(x)\\&\exists x:&\neg Q(x)\\\therefore &\exists x:&\neg P(x)\end{array}}}

Vilket kan utläsas: Allt som uppfyller P uppfyller Q. Det finns ett x som inte uppfyller Q. Alltså finns ett x som inte uppfyller P.

I mängdlära kan det uttryckas som:

P Q x Q x P {\displaystyle {\begin{array}{cc}&P\subseteq Q\\&x\notin Q\\\therefore &x\notin P\end{array}}}

det vill säga, P är en delmängd till Q. x är inte ett element i Q. Alltså är x inte ett element i P.

Källor

  • Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, London 1965.
  • Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
  • Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
  • Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Lund 1967.
v  r
Logiska begrepp
Sats
Påståendesats · Lexikon · Formel · Påstående · Utsaga
Mening
Tautologi · Kontradiktion · Motsägelse
Sanning
Deduktion
Bevis
Hypotes
Hypotesprövning · Nollhypotes · Antagande · Förmodan · Ad hoc
Formella språk
Modellteori
Struktur · Kontext · Interpretering
Härledningsbegrepp
Fullständighet · Falsifierbarhet · Falsifikation · Sundhet · Giltighet
Latinska begrepp
Övrigt
Se även: Entropi · Information · Kunskap