MASH-1

MASH-1 (Modular Arithmetic Secure Hash) — это хеш-функция, используемая в криптографии, основанная на модульной арифметике. Главные преимущества этой функции - возможность повторного использования существующего программного или аппаратного обеспечения и масштабируемость. Из недостатков: не очень высокая скорость, обусловленная скоростью RSA-шифрования, которая на 2-3 порядка ниже скорости блочно-симметричных шифров, и история неудачных предложений функций, основанных на модульной арифметике.

История

MASH-1 и MASH-2 после долгой проработки и множества неудачных предложений вошли в стандарт ISO/IEC 10118-4 [1] в 1998 году. К данному моменту нет опубликованных результатов проблем в безопасности этих хеш-функций.

Мотивация к использованию модульной арифметики в хэш-функции основана на двух факторах: возможности повторного использования существующего программного или аппаратного обеспечения (в системах с открытым ключом) для модульной арифметики и масштабируемости для соответствия требуемому уровню безопасности и желаемому размеру хэш-значения.

Описание алгоритма

MASH-1 предполагает использование модуля M, аналогичного модулю из RSA. Битовая длина M оказывает прямое влияние на безопасность. M должно быть сложно факторизовать и безопасность держится на сложности выделения корней по модулю. Также битовая длина M определяет размер блока обрабатываемых данных и размер хеш-результата.

На вход алгоритма получаем x битовой длины ${\displaystyle 0\leq b<2^{n/2}}$. На выходе хотим получить n битный хеш x (n почти той же битовой длины, что и M).

1)${\displaystyle M=pq}$ m = битовая длина M, p и q - засекреченные простые числа, выбранные так, чтобы факторизация M была трудной. Пусть битовая длина n будет наибольшим множителем 16, меньшим чем m (т.е. ${\displaystyle n=16n'<m}$). ${\displaystyle H_{0}=0}$ определим как IV и n-битная целочисленная константа A = 0xf0...0. "${\displaystyle \vee }$" - обозначение для побитового ИЛИ, ${\displaystyle \oplus }$ - обозначение для побитового исключающего ИЛИ.

2)Разбиваем сообщения с помощью структуры Меркла — Дамгора. Заполняем x 0-битами, если это необходимо чтобы получить строку битовой длины ${\displaystyle t*n/2}$ для наименьшего возможного ${\displaystyle t\geq 1}$. Поделим дополненный текст на блоки по ${\displaystyle n/2}$ бита - ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{t}}$ и добавим последний блок ${\displaystyle x_{t+1}}$, в котором лежит b, выраженная ${\displaystyle n/2}$ битами.

3)Расширим каждый ${\displaystyle x_{i}}$ до n-битного блока ${\displaystyle y_{i}}$. Для этого поделим его в 4 битные полубайты и вставим 4 бита один за другим, за исключением ${\displaystyle y_{t+1}}$, где вставленный полубайт 1010, а не 1111

4)Теперь обработаем функцию сжатия. Для ${\displaystyle 1\leq i\leq t+1}$, сопоставим 2 n-битных входа (${\displaystyle H_{i-1},y_{i}}$) одному n-битному входу следующим образом:

${\displaystyle H_{i}\gets ((((H_{i-1}\oplus y_{i})\vee A)^{2}modM)\dashv n)\oplus H_{i-1}}$

Здесь "${\displaystyle \dashv }$" обозначает сохранение правых n бит m-битного результата слева от него.

5) Нужный нам хеш лежит в n-битном блоке ${\displaystyle H_{t+1}}$^[1]

Пример кода

Пример реализации алгоритма на Java с использованием класса BigInteger для работы с длинной арифметикой:

private final BigInteger compress(BigInteger X, BigInteger H) {
    BigInteger XX = BigInteger.value0f(0);
    BigInteger rem;
    for (int j = k - 4; j >= 0; j -= 4) {
        XX = XX.shiftLeft(4).or(FEFTEEN);
        rem = block.shiftRight(j).mod(SIXSTEEN);
        XX = XX.shiftLeft(4).or(rem);
    }
    return H.xor(XX).or(E).pow(2).mod(N).mod(TWO_POW_N).xor(H);
}

Чтобы сделать этот код более эффективным можно добавить следующие оптимизации:

• Работать с векторами фиксированной длины
• Работать с беззнаковыми числами
• Модульное возведение в степень только для степень 2 или 257(в случае MASH-2)
• Модульное вычитание только для чётных модулей^[2]

MASH-2

MASH-2 отличается от MASH-1 только другим значением экспоненты. В MASH-1 используется ${\displaystyle e=2}$, в то время как в MASH-2 используется ${\displaystyle e=2^{8}+1}$.

• Пример сравнения MASH-1 и MASH-2:

Результаты сравнительного анализа

Хеш-функция	Применяемые преобразования	Скорость обработки данных	Модель безопасности
MASH-1	Модулярное возведение в квадрат	${\displaystyle 10^{5}..10^{6}}$ бит/с	Доказуемая безопасность
MASH-2	Модулярное возведение в степень ${\displaystyle e=2^{8}+1=257}$	${\displaystyle 10^{4}..10^{5}}$ бит/с	Доказуемая безопасность

^[3]

• Для очень высокой безопасности рекомендуется выбирать MASH-2, а не MASH-1, где могут быть нежелательные статистические зависимости ^[2]

Примечания

Ссылки

• Smashing MASH-1, Vladimir Antipkin
• A. Menezes, P. van Oorschot, S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography, ISBN 0-8493-8523-7
• Метод каскадного формирования МАС-кодов с использованием модулярных преобразований Король.О.Г., Парцхуль Л.Т., Евсеев С.П.
• Implementation and parallel cryptanalysis of MASH hash function family Marek Gradzki 2011
• P. van Oorschot and M. Wiener , Parallel collision search with cryptanalytic applications , Journal of Cryptology, 12(1):1-28, 1999.
• D. Bishop , Introduction to Cryptography with Java Applets , 2003.
• ISO/IEC 10118. Information technology{security. Part 4: Hash-functions using modular arithmetic , 1998.
• H.C.A. van Tilborg , Encyclopedia of Cryptography and Security , Springer-Verlag New York, Inc., Secaucus, NJ, 2005.
• J. Bloch , E ective Java: Programming Language Guide , Addison Wesley, 2001.