ISO 31-11

Эта страница или раздел содержит специальные символы Unicode. Если у вас отсутствуют необходимые шрифты, некоторые символы могут отображаться неправильно.

ISO 31-11:1992 — часть международного стандарта ISO 31, которая определяет «математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии» (англ. mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандарт ISO 80000-2^[1] (последняя редакция^[2]: ISO 80000-2:2019, 2nd edition).

Математические символы

Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта^[3].

Математическая логика

Обозна- чение	Употребление	Название	Смысл и пояснения	Комментарии
∧	p ∧ q	конъюнкция	p и q
∨	p ∨ q	дизъюнкция	p или q (возможно, оба)
¬	¬ p	отрицание	неверно p; не-p
⇒	p ⇒ q	импликация	если p, то q; из p следует q	Иногда записывается в виде p → q или q ⇐ p.
∀	∀x∈A p(x) (∀x∈A) p(x)	квантор общности	для каждого x из множества A верно утверждение p(x)	Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
∃	∃x∈A p(x) (∃x∈A) p(x)	квантор существования	существует x из множества A, для которого утверждение p(x) верно	Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста. Вариант ∃! означает, что такое x единственно во множестве A.

Теория множеств

Обозна- чение	Употребление	Смысл и пояснения	Комментарии
∈	x ∈ A	x принадлежит A; x является элементом множества A
∉	x ∉ A	x не принадлежит A; x не является элементом множества A	Перечёркивающая линия может быть и вертикальной.
∋	A ∋ x	Множество A содержит элемент x	равносильно x ∈ A
∌	A ∌ x	Множество A не содержит элемента x	равносильно x ∉ A
{ }	{x1, x2, ..., xn}	множество, образованное элементами x1, x2, ..., xn	также {xi ∣ i ∈ I}, где I обозначает множество индексов
{ ∣ }	{x ∈ A ∣ p(x)}	множество таких элементов A, для которых утверждение p(x) верно	Пример: {x ∈ ℝ ∣ x > 5} Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
card	card(A)	кардинальное число элементов множества A; мощность A
∖	A ∖ B	разность множеств A и B; A минус B	Множество элементов из A, которых нет в B. A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } Не следует записывать в виде A − B.
∅		пустое множество
ℕ		множество натуральных чисел, включая ноль	ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Если ноль исключён, надо пометить символ звёздочкой: ℕ* = {1, 2, 3, ...} Конечное подмножество: ℕk = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}
ℤ		множество целых чисел	ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Целые ненулевые обозначаются ℤ* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
ℚ		множество рациональных чисел	ℚ* = ℚ ∖ {0}
ℝ		множество вещественных чисел	ℝ* = ℝ ∖ {0}
ℂ		множество комплексных чисел	ℂ* = ℂ ∖ {0}
[,]	[a,b]	замкнутый интервал в ℝ от a (включая) до b (включая)	[a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b}
],] (,]	]a,b] (a,b]	полуоткрытый слева интервал в ℝ от a (исключая) до b (включая)	]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b}
[,[ [,)	[a,b[ [a,b)	полуоткрытый справа интервал в ℝ от a (включая) до b (исключая)	[a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b}
],[ (,)	]a,b[ (a,b)	открытый интервал в ℝ от a (исключая) до b (исключая)	]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b}
⊆	B ⊆ A	B содержится в A; B есть подмножество A	Каждый элемент B принадлежит A. Вариант символа: ⊂ .
⊂	B ⊂ A	B содержится в A как собственное подмножество	Каждый элемент B принадлежит A, но B не равен A. Если ⊂ обозначает "содержится", то ⊊ должно использоваться в смысле "содержится как собственное подмножество".
⊈	C ⊈ A	C не содержится в A; C не является подмножеством A	Вариант: C ⊄ A
⊇	A ⊇ B	A содержит B (как подмножество)	A содержит все элементы B. Вариант: ⊃. B ⊆ A равносильно A ⊇ B.
⊃	A ⊃ B.	A содержит B как собственное подмножество.	A содержит все элементы B, но A не равно B. Если используется символ ⊃ , то ⊋ должен использоваться в смысле "содержит как собственное подмножество".
⊉	A ⊉ C	A не содержит C (как подмножество)	Вариант: ⊅ . A ⊉ C равносильно C ⊈ A.
∪	A ∪ B	объединение A и B	Множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо обоим A и B. A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }
⋃	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$	объединение семейства множеств	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}}$, множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из A1, ..., An. Варианты: ${\displaystyle \bigcup {}_{i=1}^{n}}$ и ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}}$, ${\displaystyle \bigcup {}_{i\in I}}$, где I — множество индексов.
∩	A ∩ B	пересечение A и B	Множество элементов, принадлежащих как A, так и B. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }
⋂	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$	пересечение семейства множеств	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}}$, множество элементов, принадлежащих каждому A1, ..., An. Варианты: ${\displaystyle \bigcap {}_{i=1}^{n}}$ и ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}}$, ${\displaystyle \bigcap {}_{i\in I}}$, где I — множество индексов.
∁	∁AB	разность A и B	Множество тех элементов A, которых нет в B. Символ A часто опускается, если он понятен по контексту. Вариант: ∁AB = A ∖ B.
(,)	(a, b)	упорядоченная пара a, b	(a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Вариант записи: ⟨a, b⟩.
(,...,)	(a1, a2, ..., an)	упорядоченный n-кортеж	Вариант записи: ⟨a1, a2, ..., an⟩ (угловые скобки).
×	A × B	декартово произведение множеств A и B	Множество упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B. A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A обозначается An, где n — число сомножителей.
Δ	ΔA	множество пар (a, a) ∈ A × A, где a ∈ A; то есть диагональ множества A × A	ΔA = { (a, a) ∣ a ∈ A } Вариант записи: idA.

Прочие символы

Обозначение		Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
Юникод	TeX
≝	${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}}$	a ≝ b	a равно b по определению[3]	Вариант записи: a := b
=	${\displaystyle =}$	a = b	a равно b	Вариант: символ ≡ подчёркивает, что это равенство есть тождество.
≠	${\displaystyle \neq }$	a ≠ b	a не равно b	Вариант записи: ${\displaystyle a\not \equiv b}$ указывает, что a не тождественно равно b.
≙	${\displaystyle {\stackrel {\wedge }{=}}}$	a ≙ b	a соответствует b	Пример: на карте масштаба 1:106 1 см ≙ 10 км.
≈	${\displaystyle \approx }$	a ≈ b	a приблизительно равно b	Символ ≃ означает "асимптотически равно".
∼ ∝	${\displaystyle {\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}}$	a ∼ b a ∝ b	a пропорционально b
<	${\displaystyle <}$	a < b	a меньше, чем b
>	${\displaystyle >}$	a > b	a больше, чем b
⩽	${\displaystyle \leqslant }$	a ⩽ b	a меньше или равно b	Вариант: ≤, ≦.
⩾	${\displaystyle \geqslant }$	a ⩾ b	a больше или равно b	Вариант: ≥, ≧.
≪	${\displaystyle \ll }$	a ≪ b	a намного меньше, чем b
≫	${\displaystyle \gg }$	a ≫ b	a намного больше, чем b
∞	${\displaystyle \infty }$		бесконечность
() [] {} ⟨⟩	${\displaystyle {\begin{matrix}()\\{[]}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}}$	${\displaystyle ac+bc}$, скобки ${\displaystyle ac+bc}$, квадратные скобки ${\displaystyle ac+bc}$, фигурные скобки ${\displaystyle ac+bc}$, угловые скобки	В алгебре приоритет разных скобок ${\displaystyle (),[],\{\},\langle \rangle }$ не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления ${\displaystyle (),[],\{\},\langle \rangle }$.
∥	${\displaystyle \|}$	AB ∥ CD	прямая AB параллельна прямой CD
⊥	${\displaystyle \perp }$	${\displaystyle \mathrm {AB\perp CD} }$	прямая AB перпендикулярна прямой CD
${\displaystyle \mid }$	${\displaystyle a\mid b}$	a — делитель b	или, что то же, b кратно a	${\displaystyle \mid }$

Операции

Обозначение	Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
+	a + b	a плюс b
−	a − b	a минус b
±	a ± b	a плюс-минус b
∓	a ∓ b	a минус-плюс b	−(a ± b) = −a ∓ b
...	...	...	...
⋮

Функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
${\displaystyle f:D\rightarrow C}$	функция f определена на D и принимает значения в C	Используется для явного указания областей определения и значения для функции.
${\displaystyle f\left(S\right)}$	${\displaystyle \left\{f\left(x\right)\mid x\in S\right\}}$	Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножества S области определения.
⋮

Показательная и логарифмическая функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
e	основание натуральных логарифмов	e = 2,71828...
ex	показательная функция с основанием e
${\displaystyle \log _{a}x}$	логарифм с основанием ${\displaystyle a}$
lb x	двоичный логарифм (с основанием 2)	lb x = ${\displaystyle \log _{2}x}$
ln x	натуральный логарифм (с основанием e)	ln x =${\displaystyle \log _{e}x}$
lg x	десятичный логарифм (с основанием 10)	lg x = ${\displaystyle \log _{10}x}$
...	...	...
⋮

Круговые и гиперболические функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
${\displaystyle \pi }$	отношение длины окружности к её диаметру	${\displaystyle \pi }$ = 3,14159...
...	...	...
⋮

Комплексные числа

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
i   j	мнимая единица; ${\displaystyle i^{2}=-1}$	в электротехнике вместо ${\displaystyle i}$ используется символ ${\displaystyle j}$.
Re z	вещественная часть z	z = x + i y, где x = Re z и y = Im z
Im z	мнимая часть z
∣z∣	абсолютная величина z; модуль z	Иногда обозначается mod z
arg z	аргумент z; фаза z	${\displaystyle r=e^{i\varphi }}$, где r = ∣z∣, φ = arg z, При этом Re z = r cos φ, Im z = r sin φ
z*	(комплексно-) сопряжённое к z число	Вариант: чёрточка над z вместо звёздочки
sgn z	sgn z	sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) для z ≠ 0, sgn 0 = 0

Матрицы

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
A	матрица A	...
...	...	...
⋮

Системы координат

Координаты	Радиус-вектор точки	Название системы координат	Комментарии
x, y, z	${\displaystyle [xyz]=[xyz];}$	прямоугольная система координат (декартова)	x1, x2, x3 для координат и e1, e2, e3 для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай. ex, ey, ez образуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаются i, j, k.
ρ, φ, z	${\displaystyle [x,y,z]=[\rho \cos(\phi ),\rho \sin(\phi ),z]}$	цилиндрическая система координат	eρ(φ), eφ(φ), ez образуют ортогональный (правый) базис. Если z= 0 (двумерный случай), то ρ и φ — полярные координаты.
r, θ, φ	${\displaystyle [x,y,z]=r[\sin(\theta )\cos(\phi ),\sin(\theta )\sin(\phi ),\cos(\theta )]}$	сферическая система координат	er(θ,φ), eθ(θ,φ),eφ(φ) образуют ортогональный (правый) базис.

Векторы и тензоры

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
a ${\displaystyle {\vec {a}}}$	вектор a	векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, а также стрелкой над буквой[4]. Любой вектор a можно умножить на скаляр k, получая вектор ka.
...	...	...
⋮

Специальные функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
${\displaystyle J_{i}(x)}$	цилиндрические функции Бесселя (первого рода)	...
...	...	...
⋮

Стандарт ISO 80000-2

Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём добавились новые разделы (всего их стало 19):

• Стандартные числовые множества и интервалы (Standard number sets and intervals).
• Элементарная геометрия (Elementary geometry).
• Комбинаторика (Combinatorics).
• Преобразования (Transforms).

Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» (Quantities and units — Part 2: Mathematics).

См. также

• История математических обозначений
• Математические обозначения
• Таблица математических символов

Примечания

Ссылки

• ISO 80000-2:2009  (неопр.). Международная организация по стандартизации. Дата обращения: 12 августа 2019.