Funcție mărginită

O ilustrare schematică a unei funcții mărginite (cu roșu) și a uneia nemărginite (cu albastru). Intuitiv, graficul unei funcții mărginite rămâne într-o bandă orizontală, în timp ce graficul unei funcții nemărginite nu.

În matematică o funcție f reală sau complexă, definită pe o mulțime X, este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este mărginită. Cu alte cuvinte, există un număr real M astfel încât

| f ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f(x)|\leq M}

pentru orice x ∈ X {\displaystyle x\in X} .[1] Despre o funcție care nu este mărginită se spune că este nemărginită.[2][3]

Dacă f are valoare reală și f(x) ≤ A pentru orice x din X, atunci se spune că funcția este mărginită superior de A. Dacă f(x) ≥ B pentru orice x din X, atunci se spune că funcția este mărginită inferior de B.[2] O funcție reală este mărginită dacă și numai dacă este mărginită atât superior, cât și inferior.[3]

Un caz particular important este un șir mărginit, unde X este considerat ca fiind mulțimea N de numere naturale. Astfel, un șir f = (a0, a1, a 2, ...) este mărginit dacă există un număr real M astfel încât

| a n | ≤ M {\displaystyle |a_{n}|\leq M}

pentru orice număr natural n.

Definiția mărginirii poate fi generalizată la funcțiile f : X → Y care iau valori într-un spațiu mai general Y prin necesitatea ca imaginea f(X) să fie o mulțime mărginită în Y.

Exemple

  • Funcția sinus : R → R {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } este mărginită deoarece | sin ⁡ ( x ) | ≤ 1 {\displaystyle |\sin(x)|\leq 1} pentru orice x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } .[3][4]
  • Funcția f ( x ) = ( x 2 − 1 ) − 1 {\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}} , definită pentru orice x real cu excepția lui −1 și 1, este nemărginită. Cînd x se apropie de −1 sau de 1, valorile absolute ale acestei funcții cresc. Această funcție poate fi mărginită dacă se limitează domeniul ei, de exemplu la [2, ∞) sau (−∞, −2].
  • Funcția f ( x ) = ( x 2 + 1 ) − 1 {\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}} , definită pentru orice x real, este mărginită, deoarece | f ( x ) | ≤ 1 {\textstyle |f(x)|\leq 1} pentru orice x.
  • Funcția arctangentă, definită drept: y = arctg ⁡ ( x ) {\textstyle y=\operatorname {arctg} (x)} sau x = tg ⁡ ( y ) {\textstyle x=\operatorname {tg} (y)} este monoton crescătoare pentru orice x real și mărginită de − π 2 < y < π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}} radiani.[5]
  • Conform teoremei valorilor extreme⁠(d), orice funcție continuă pe un interval închis, cum ar fi f : [ 0 , 1 ] → R , {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} ,} este mărginită.[6] În general, orice funcție continuă pe un spațiu compact într-un spațiu metric este mărginită.
  • Toate funcțiile complexe f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } care sunt întregi sunt fie nemărginite, fie constante ca o consecință a teoremei lui Liouville⁠(d).[7] În particular, funcția complexă sin : C → C {\displaystyle \sin :\mathbb {C} \to \mathbb {C} } trebuie să fie nemărginită deoarece este întreagă.
  • Funcția f {\displaystyle f} care ia valoarea 0 pentru x rațional și 1 pentru x irațional este mărginită. Deci o funcție nu trebuie să fie „frumoasă” pentru a fi mărginită. Mulțimea tuturor funcțiilor mărginite definite pe [0, 1] este mult mai mare decât mulțimea funcțiilor continue din acel interval. În plus, funcțiile continue nu trebuie să fie mărginite; de exemplu, funcțiile g : R 2 → R {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } și h : ( 0 , 1 ) 2 → R {\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} } definite prin g ( x , y ) := x + y {\displaystyle g(x,y):=x+y} și h ( x , y ) := 1 x + y {\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}} sunt ambele continui, dar niciuna nu este mărginită.[8] (Totuși, o funcție continuă trebuie să fie mărginită dacă domeniul său este atât închis, cât și mărginit.[8])

Note

  1. ^ Horvat-Marc Andrei, AM2-Curs-07, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-05-14
  2. ^ a b Florin Iacob Cap. III Funcții continue (curs, p. 169), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-14
  3. ^ a b c en Jeffrey, Alan (). Mathematics for Engineers and Scientists, 5th Edition. CRC Press. ISBN 978-0-412-62150-5. 
  4. ^ en „The Sine and Cosine Functions” (PDF). math.dartmouth.edu. Arhivat din original (PDF) la . Accesat în . 
  5. ^ en Polyanin, Andrei D.; Chernoutsan, Alexei (). A Concise Handbook of Mathematics, Physics, and Engineering Sciences. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0640-1. 
  6. ^ en Weisstein, Eric W. „Extreme Value Theorem”. mathworld.wolfram.com. Accesat în . 
  7. ^ en „Liouville theorems - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Accesat în . 
  8. ^ a b en Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (). A Course in Multivariable Calculus and Analysis. Springer Science & Business Media. p. 56. ISBN 978-1-4419-1621-1. 
Portal icon Portal Matematică