Derivată direcțională

În analiza matematică, derivata direcțională permite evaluarea variației locale a unei funcții de mai multe variabile într-un punct dat și după o anumită direcție. Reprezintă o generalizare a noțiunii de derivată parțială și un caz particular al diferențialei Gâteaux.

Definiție

Cazul 2D

Definiție. Fie f : D ⊂ R 2 → R {\displaystyle f:D\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } o funcție reală, diferențiabilă de două variabile și vectorul unitar u = a i + b j . {\displaystyle \mathbf {u} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j} .} Dacă următoarea limită există și este finită:

lim t → 0 f ( x + t a , y + t b ) t {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}}

atunci aceasta se numește derivata după direcția vectorului unității u {\displaystyle \mathbf {u} } în punctul ( x , y ) ∈ D {\displaystyle (x,y)\in D} și se notează cu D u f : {\displaystyle D_{\mathbf {u} }f:}

D u f ( x , y ) = lim t → 0 f ( x + t a , y + t b ) t . {\displaystyle D_{\mathbf {u} }\;f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}.}

Alte notații echivalente utilizate sunt ∇ f {\displaystyle \nabla f} sau d f d u . {\displaystyle {\frac {df}{d\mathbf {u} }}.}

Observație: Derivatele parțiale sunt cazuri particulare de derivare după o direcție dată. Astfel dacă de exemplu u = i {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {i} } obținem derivata parțială după direcția axei x : {\displaystyle x:}

D i f ( x , y ) = lim t → 0 f ( x + t , y ) − f ( x , y ) t = ∂ f ∂ x ( x , y ) . {\displaystyle D_{\mathbf {i} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+t,y)-f(x,y)}{t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y).}

Observație: Presupunând că există o dezvoltare în serie Taylor pentru f ( x + t a , y + t b ) {\displaystyle f(x+ta,y+tb)} în jurul lui ( x , y ) ∈ D {\displaystyle (x,y)\in D} și efectuând limita, se deduce că derivata după o direcție se calculează astfel:

D u f ( x , y ) = lim t → 0 f ( x + t a , y + t b ) − f ( x , y ) t = a ∂ f ∂ x ( x , y ) + b ∂ f ∂ y ( x , y ) {\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)-f(x,y)}{t}}=a{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)+b{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}

sau, utilizând notația: f , x ( x , y ) = ∂ f ∂ y ( x , y ) . {\displaystyle f_{,x}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y).}

D u f ( x , y ) = a f , x ( x , y ) + b f , y ( x , y ) . {\displaystyle D_{u}f(x,y)=af_{,x}(x,y)+bf_{,y}(x,y).}

Dar gradientul unui câmp scalar într-un spațiu bidimensional este:

g r a d f = ∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j . {\displaystyle grad\;f=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} .}

Relația dintre derivata după direcția u {\displaystyle \mathbf {u} } și vectorul gradient este:

D u f ( x , y ) = ∇ f ( x , y ) ⋅ u . {\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} .}

Exemplu

Se consideră câmpul vectorial: f ( x , y ) = 4 − x 2 − 1 4 y 2 {\displaystyle f(x,y)=4-x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}} și se cere determinarea lui D u f {\displaystyle D_{\mathbf {u} }f} în direcția u = cos ⁡ ( π 3 ) i + sin ⁡ ( π 3 ) j {\displaystyle \mathbf {u} =\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\mathbf {i} +\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\mathbf {j} } în punctul ( 1 , 2 ) . {\displaystyle (1,2).}

Rezolvare. Derivatele parțiale sunt:

f , x = − 2 x , f , y = − 1 2 y . {\displaystyle f_{,x}=-2x,\;f_{,y}=-{\frac {1}{2}}y.}

Derivata după o direcție este:

D u f ( x , y ) = f x ( x , y ) cos ⁡ θ + f y ( x , y ) sin ⁡ θ = ( − 2 x ) cos ⁡ π 3 + ( − 1 2 y ) sin ⁡ π 3 , {\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=f_{x}(x,y)\cos \theta +f_{y}(x,y)\sin \theta =(-2x)\cos {\frac {\pi }{3}}+\left(-{\frac {1}{2}}y\right)\sin {\frac {\pi }{3}},}

iar în punctul ( 1 , 2 ) : {\displaystyle (1,2):}

D u f ( 1 , 2 ) = ( − 2 ) cos ⁡ ( π 3 ) + ( − 1 ) sin ⁡ ( π 3 ) = ( − 2 ) ( 1 2 ) + ( − 1 ) ( 3 2 ) = − 1 − 3 2 . {\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(1,2)=(-2)\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)+(-1)\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)=(-2)\left({\frac {1}{2}}\right)+(-1)\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-1-{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}