Modus tollens

Modus tollens (Latim: modo que nega por negação)^[1] ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.

Descrição

É um argumento comum, simples:

Se ${\displaystyle P}$, então ${\displaystyle Q}$.

${\displaystyle Q}$ é falso.

Logo, ${\displaystyle P}$ é falso.

ou em notação de lógica:

${\displaystyle p\rightarrow q}$,

¬ ${\displaystyle q\quad }$

${\displaystyle \vdash }$ ¬ ${\displaystyle p.\quad }$

onde ${\displaystyle \vdash }$ representa a asserção lógica.

ou em forma da teoria dos conjuntos:

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\not \in Q}$

∴${\displaystyle x\not \in P}$

("${\displaystyle P}$ é um subconjunto de ${\displaystyle Q}$. ${\displaystyle x}$ não pertence a ${\displaystyle Q}$. Logo, ${\displaystyle x}$ não pertence a ${\displaystyle P}$.")

Na forma de conjuntos podemos exemplificar da seguinte forma:

Digamos que existe um conjunto de alimentos que ${\displaystyle E}$ngordam.

Nesse conjunto existe: ${\displaystyle P}$astel, ${\displaystyle B}$rigadeiro e ${\displaystyle C}$erveja. ${\displaystyle E=\{P,B,C\}}$

Todos que comem Pastel (${\displaystyle P}$), então Engordam (${\displaystyle E}$). ( ${\displaystyle P\rightarrow E}$),

Não Engordei. (¬ ${\displaystyle E\quad }$)

Logo não comi Pastel ( ${\displaystyle \vdash }$ ¬ ${\displaystyle P\quad }$)

Exemplos

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que ${\displaystyle P}$ implica ${\displaystyle Q}$. A segunda premissa é que ${\displaystyle Q}$ é falso. Dessas duas premissas pode-se concluir logicamente que ${\displaystyle P}$ tem de ser falso. (Por que? Se ${\displaystyle P}$ fosse verdadeiro, então ${\displaystyle Q}$ seria verdadeiro pela premissa 1, mas não é pela premissa 2).

Considere dois exemplos:

Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.

Não há oxigênio aqui.

Então aqui não há fogo.

Na lógica matemática

A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.^[2]

A contraposição diz-nos que ${\displaystyle p\to q}$é equivalente a ${\displaystyle \lnot q\to \lnot p}$, então com a regra modus ponens inferimos que ${\displaystyle {\frac {\lnot q\to \lnot p,\lnot q}{\lnot p}}}$.

Essa regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).^[3]

Tabela de verdade

A tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) demonstra a regra modus tollens em lógica binária.

Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:

(p ⇒ q) = 1

por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:

q = 0

Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:

Por hipótese, só interessam os casos em que q = 0 e (p ⇒ q) = 1, assim só a última linha é verdadeira.

Conclui-se que p = q = 0 em particular p = 0, ou o que é o mesmo (¬p) = 1.

Referências

Ver também

• Modus ponens
• Implicação
• Falseabilidade
• Falácia