Integral de Tchebychev

A Integral de Tchebychev é formulada por

onde ${\displaystyle B(x;a,b)}$ é a função beta incompleta.^[1]

Teorema de integração dos binômios diferenciais

Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:^[2]

${\displaystyle \int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx}$

onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são números reais e ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle p}$ são números racionais, não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle p}$, exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:^[3][4]

${\displaystyle p}$ é um número inteiro;

Expande-se ${\displaystyle (a+b\,x^{n})^{p}}$ pela fórmula binomial, escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples ${\displaystyle {\sqrt[{c}]{x^{i}}}=x^{\frac {i}{c}}}$. Então a substituição ${\displaystyle x=t^{r}}$, onde ${\displaystyle r}$ é o maior de todos os denominadores ${\displaystyle c}$, removerá completamente os radicais.^[5]

${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ é um número inteiro;

Substitui-se ${\displaystyle a+b\,x^{n}=t^{k}}$ onde ${\displaystyle k}$ é o denominador de ${\displaystyle p}$,^[4] ou seja, ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{\frac {t^{k}-a}{b}}}}$ e ${\displaystyle x^{m}={\biggl (}{\frac {t^{k}-a}{b}}{\biggr )}^{\frac {m}{n}}}$.^[6]

${\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}}$ é um número inteiro.

Substitui-se ${\displaystyle ax^{-n}+b=t^{k}}$ onde ${\displaystyle k}$ é o denominador de ${\displaystyle p}$.^[5][4]

Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares.^[7]

Exemplo

• ${\displaystyle \int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx}$,^[4] onde ${\displaystyle p=-{\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle n=2}$ e ${\displaystyle m=3}$, ou seja, ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2}$.

Logo, ${\displaystyle 1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz}$ .

Assim, ${\displaystyle F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.}$

Ver também

• Função beta incompleta.

Referências

• Portal da matemática