Średnia Stolarskiego

Średnia Stolarskiego – średnia, której szczególnymi przypadkami jest wiele klasycznych średnich, zdefiniowana dla ustalonego parametru p oraz dodatnich argumentów wzorem

${\displaystyle S_{p}(x,y)={\begin{cases}x&{\text{jeśli }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{wpp.}}\end{cases}}.}$

Gdzie parametr ${\displaystyle p\in \mathbb {R} /\{0,1\}.}$

Można pokazać, że tak zdefiniowana funkcja jest średnią jej argumentów stosując twierdzenia Lagrange’a dla liczb x i y oraz funkcji ${\displaystyle f(x)=x^{p}.}$

Szczególne przypadki

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)}$ jest minimum.
• ${\displaystyle S_{-1}(x,y)}$ jest średnią geometryczną.
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)}$ jest średnią logarytmiczną.
• ${\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(x,y)}$ jest średnią potęgową dla wykładnika ½.
• ${\displaystyle S_{2}(x,y)}$ jest średnią arytmetyczną.
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)}$ jest maksimum.

Bibliografia

• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87-92
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Stolarsky Mean, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).