Begrenset funksjon

{\displaystyle x} — Skjematisk tegning av en begrenset og en ubegrenset funksjon. Dersom en funksjon alltid vil holde seg innenfor to gitte striplede linjer er den begrenset; hvis det alltid er mulig å finne en $x$ -verdi slik at den går utenfor to gitte striplede linjer er den ubegrenset.

En begrenset funksjon er en funksjon hvis verdimengde er begrenset. En funksjon $f(x):X\to \mathbb {R}$ er altså begrenset hvis det finnes et reelt tall $M$ slik at

|f(x)|<M

for alle $x\in X$ . Sinus- og cosinus-funksjonene er, for eksempel, begge begrensede, siden $|\sin(x)|\leq 1$ og $|\cos(x)|\leq 1$ for alle $x\in \mathbb {R}$ .

Definisjoner

Dersom det finnes et tall $M_{1}$ slik at

f(x)<M_{1}

for alle $x\in X$ sier man at funksjonen er oppad begrenset (av $M_{1}$ ). Tilsvarende, dersom det finnes et tall $M_{2}$ slik at

f(x)>M_{2}

for alle $x\in X$ sier man at funksjonen er nedad begrenset (av $M_{2}$ ). En funksjon regnes som begrenset hvis og bare hvis den er oppad og nedad begrenset; dette er ekvivalent med at det finnes en konstant $M$ slik at

|f(x)|<M

for alle $x\in X$ .^[1]

Begrensningsteoremet

Begrensningsteoremet sier at dersom en funksjon $f$ er kontinuerlig over et lukket, begrenset intervall $[a,b]$ , så er $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ også begrenset.