Killing-vorm

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de killing-vorm, vernoemd naar de Duitse wiskundige Wilhelm Killing, een symmetrische bilineaire vorm die een fundamentele rol speelt in de theorieën van de lie-groepen en lie-algebra's.

De killing-vorm werd in 1894 door de Franse wiskundige Élie Cartan in zijn proefschrift in de theorie van de lie-algebra's geïntroduceerd. Hoewel Killing weleens een opmerking had gemaakt over het belang van wat nu naar hem de killing-vorm wordt genoemd, maakte hij er in zijn eigen werk geen serieus gebruik van.

Definitie

Laat ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ een Lie-algebra zijn over een lichaam/veld ${\displaystyle K}$. Elke ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ definieert het toegevoegde endomorfisme ${\displaystyle \mathrm {ad} (x)}$ (ook genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$) van ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ met behulp van de Lie-haak:

${\displaystyle \mathrm {ad} (x)(y)=[x,y].}$

Voor eindige ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is de killing-vorm de symmetrische bilineaire vorm die gevormd wordt door het spoor van de samenstelling van twee zulke toegevoege endomorfismen:

${\displaystyle B(x,y)=\mathrm {sp} (\mathrm {ad} (x)\mathrm {ad} (y))~.}$