正二十八角形 二十八角形(にじゅうはちかくけい、にじゅうはちかっけい、icosioctagon)は、多角形の一つで、28本の辺と28個の頂点を持つ図形である。内角の和は4680°、対角線の本数は350本である。
正二十八角形
正二十八角形においては、中心角と外角は12.857…°で、内角は167.142…°となる。一辺の長さが a の正二十八角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {28}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{28}}\simeq 62.12672a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a015306a92e236e181da02a954e64542aab5f9)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{28}}=\cos {\frac {\pi }{14}}={\sqrt {\frac {1+\cos {\frac {2\pi }{14}}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{12}}{\sqrt {3\left(20+2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c843c7ab2c0e27af40333d613521b708e545652)
別の表し方として
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{28}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cdot \cos {\frac {2\pi }{7}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cdot {\frac {1}{6}}\left({\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1+3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1-3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}-1\right)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6faf008640e500262be0e35ef455fefa77de3418)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}={\sqrt {7}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{28}}+2\cos {\frac {26\pi }{28}}+2\cos {\frac {22\pi }{28}}=-{\sqrt {7}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee277b2c678c4399a2df3d8c13c8f771883b9084)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{28}}=0\\&2\cos {\frac {2\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{28}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{28}}=-{\sqrt {7}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d82d2653503e445a363c3b6394567a875ad0bad)
解と係数の関係より
![{\displaystyle x^{3}-{\sqrt {7}}x^{2}+{\sqrt {7}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de5977bbc8634f76afca8d7f08bbf3e71845235)
変数変換
![{\displaystyle x=y+{\frac {\sqrt {7}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be252a31ccd198d0af1afede47abea55f0782212)
整理すると
![{\displaystyle y^{3}-{\frac {7}{3}}y+{\frac {13{\sqrt {7}}}{27}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ec432b26abf6db9d1ffe121651e1cf218bc74d)
三角関数、逆三角関数を用いた解は
![{\displaystyle x={\frac {\sqrt {7}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {7}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {-13}{14}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6cd119c21b1026ec31529d59cbb1304f30d963)
平方根、立方根で表すと
![{\displaystyle x={\frac {\sqrt {7}}{3}}+{\frac {\sqrt {7}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}+{\frac {\sqrt {7}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40396a8f746d5b15d643221729b4402c0060f5f)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{28}}={\frac {\sqrt {7}}{6}}+{\frac {\sqrt {7}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}+{\frac {\sqrt {7}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-13}{14}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{14}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b007b7487eed674cbfc788f5ec83da3951a92ba8)
正二十八角形の作図
正二十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正二十八角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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