Mappa esponenziale

In geometria differenziale, la mappa esponenziale è una funzione che mappa lo spazio tangente in un punto di una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un intorno di un punto tramite coordinate geodetiche.

Sia ${\displaystyle p}$ un punto in una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana ${\displaystyle M}$. La mappa esponenziale è una mappa

${\displaystyle {\rm {exp}}_{p}:U\to M}$

definita su un insieme aperto ${\displaystyle U}$ dello spazio tangente ${\displaystyle T_{p}}$ in ${\displaystyle p}$ contenente l'origine, nel modo seguente.

Per ogni vettore ${\displaystyle v}$ non nullo dello spazio tangente, esiste un'unica geodetica

${\displaystyle \gamma _{v}:(-a,b)\to M}$

tale che ${\displaystyle \gamma _{v}(0)=p}$ e ${\displaystyle \gamma '_{v}(0)=v}$. La geodetica è qui descritta nel suo dominio massimale: i numeri ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono positivi o ${\displaystyle +\infty }$. Se ${\displaystyle b>1}$, si definisce ${\displaystyle {\rm {exp}}_{p}(v)=\gamma _{v}(1)}$.

Si estende infine la mappa esponenziale all'origine, ponendo ${\displaystyle {\rm {exp}}_{p}(0)=p}$. I vettori su cui ${\displaystyle {\rm {exp}}_{p}}$ è definita formano un aperto ${\displaystyle U}$ contenente l'origine.

La mappa esponenziale mappa ogni retta passante per l'origine sulla geodetica avente come tangente quella retta. Se la geodetica può essere estesa fino ad avere lunghezza infinita in ambo i sensi, la mappa è definita su tutta la retta; altrimenti, la mappa è definita solo sul segmento aperto massimale su cui la geodetica può essere estesa.

Il teorema di Hopf-Rinow fornisce varie nozioni equivalenti di completezza per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se ${\displaystyle M}$ è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente

${\displaystyle {\rm {exp}}:T_{x}\to M\,\!}$

per ogni punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle M}$.

La mappa esponenziale è continua e differenziabile, con differenziale invertibile nell'origine. Per il teorema di invertibilità locale, esiste un intorno ${\displaystyle V}$ dell'origine in ${\displaystyle T_{x}}$ tale che

${\displaystyle f|_{V}:V\to f(V)\,\!}$

è un diffeomorfismo. La mappa esponenziale è cioè un diffeomorfismo locale nell'origine, ed è quindi utile a modellare la varietà ${\displaystyle M}$ localmente vicino a ${\displaystyle x}$.

Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente iniettiva: il raggio di iniettività di una varietà riemanniana ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle x}$ è il massimo numero ${\displaystyle R}$ tale che la mappa

${\displaystyle f|_{B_{R}}:B_{R}\to M}$

ristretta alla palla di raggio ${\displaystyle R}$ centrata in zero è iniettiva. La palla è

${\displaystyle B_{R}={\big \{}x\in T_{x}\ {\big |}\ |x|<R{\big \}}}$

ove la norma ${\displaystyle |x|}$ di ${\displaystyle x}$ è data dal prodotto scalare definito dal tensore metrico.

Se

${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$

è lo spazio euclideo privato dell'origine, e ${\displaystyle x}$ è un qualsiasi punto di ${\displaystyle M}$, la mappa esponenziale non è mai definita su tutto il piano tangente ${\displaystyle T_{x}}$. Infatti non risulta definita sul vettore ${\displaystyle -x}$, poiché la geodetica uscente da ${\displaystyle x}$ in direzione ${\displaystyle -x}$ è definita soltanto fino a che questa non incontra l'origine. L'aperto ${\displaystyle U}$ è quindi tutto lo spazio privato di una semiretta.

Le coordinate geodetiche in un intorno di un punto ${\displaystyle p}$ sono definite tramite la mappa esponenziale.

Sia ${\displaystyle p}$ un punto di una varietà (pseudo-)riemanniana ${\displaystyle M}$. Lo spazio tangente ${\displaystyle T_{p}M}$ è dotato di un prodotto scalare definito positivo, dato dal tensore metrico. Lo spazio è quindi identificabile con lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: per ottenere questa identificazione è sufficiente scegliere una base ortonormale.

Sia ${\displaystyle U}$ un intorno dell'origine nello spazio tangente ${\displaystyle T_{p}M}$ su cui la mappa esponenziale è un diffeomorfismo. Questo aperto è identificato con un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Conseguentemente, l'immagine ${\displaystyle \operatorname {exp} (U)}$ è identificata con questo aperto. L'identificazione fornisce un sistema di coordinate, detto geodetico o normale.

Le coordinate geodetiche identificano un intorno aperto di ${\displaystyle p}$ con un intorno aperto dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Valgono le proprietà seguenti.

Il punto ${\displaystyle p}$ è identificato con l'origine. Le geodetiche uscenti da ${\displaystyle p}$ sono identificate con le rette uscenti dall'origine.

Il tensore metrico ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle p}$ è rappresentato dalla matrice identità. Questo avviene però generalmente solo in ${\displaystyle p}$: se avviene in tutto l'intorno, la metrica in questo intorno è piatta, cioè senza curvatura.

Più precisamente, il tensore metrico è approssimato dalla metrica Euclidea al primo ordine:

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O(|x|^{2}).}$

In particolare, si annullano le derivate prime del tensore metrico:

${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0.}$

I simboli di Christoffel si annullano in ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}(p)=0.}$

La derivata covariante nel punto ${\displaystyle p}$ quindi coincide con la derivata parziale.

• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

• Curvatura sezionale
• Geodetica

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