Identità sui logaritmi

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In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.

${\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}$	deriva da	${\displaystyle b^{0}=1\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}$	deriva da	${\displaystyle b^{1}=b\!\,}$
${\displaystyle \log _{1/b}(b)=-1\!\,}$	deriva da	${\displaystyle b^{-1}=1/b\!\,}$

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}$	deriva da	${\displaystyle b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\dfrac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	deriva da	${\displaystyle {\begin{matrix}{\dfrac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}}$
${\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}$	deriva da	${\displaystyle (b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\dfrac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}$	deriva da	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	deriva da	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}$	deriva da	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}$

Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log₁₀, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log₂. Per ottenere il valore di un numero come log₂(3), si può calcolare log₁₀(3) / log₁₀(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}$

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$

L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile ${\displaystyle x}$".

${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}$

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

${\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$

dove ${\displaystyle \,H_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{4}}\end{matrix}}\,x^{3}}$

Di conseguenza

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}$

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$

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