In matematica la definizione di derivata trova l'ambientazione più naturale nel campo complesso,[1] dove l'operazione di derivazione viene detta derivazione complessa.
La derivata di una funzione di variabile complessa è definita grazie all'esistenza di una struttura di campo topologico sui numeri complessi. I risultati che si possono ottenere con la definizione di derivata nel campo
sono più interessanti rispetto al caso di
(dove si ha la definizione più semplice di derivazione): si vedano ad esempio la formula integrale di Cauchy e il teorema di Liouville.
Definizione
Detto
un sottoinsieme aperto del piano complesso
, una funzione complessa
è derivabile in senso complesso in un punto
se esiste il limite:[2]
![{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada5047c995725b5bf07b9f37aa43204fa911645)
Tale limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a
il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con
. Se
è derivabile in senso complesso in ogni punto
essa è una funzione olomorfa su
.
Chiamando
l'incremento della funzione
corrispondente all'incremento della variabile indipendente
si ha:
![{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d34c5d079cceb1b2cfd6c25fd521bdca60a494)
Vale il teorema secondo cui l'esistenza della derivata di una funzione in un punto implica la continuità della funzione in quel punto, ma non è vero il contrario.
Differenziabilità
Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione olomorfa. Una funzione
è differenziabile in
se è derivabile e:
![{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})-f'(z_{0})\Delta z}{\Delta z}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263c4b9d21f10ee2a92351b223363e1e7b2d31d6)
La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:
![{\displaystyle f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25dee192b00460a30d6be2e5bf59b429680ed49d)
è olomorfa allora
e
possiedono derivata parziale prima rispetto a
e
e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:[3]
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9465cf93576c51c331cb9f6c465a5a7d7b5ae9)
In modo equivalente, la derivata di Wirtinger
di
rispetto al complesso coniugato
di
è nulla.
Regole di derivazione
Lo stesso argomento in dettaglio: Regole di derivazione. Sfruttando la definizione si dimostra che valgono tutte le regole di derivazione che caratterizzano la derivata di funzioni reali. Innanzitutto:
![{\displaystyle {\frac {dc}{dz}}=0\qquad {\frac {dz}{dz}}=1\qquad {\frac {dz^{n}}{dz}}=n\cdot z^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af83f795643a18b69c91485fe1c4e5d2bf4c89da)
Inoltre, la derivata complessa è lineare:
![{\displaystyle {\frac {d\left(c\cdot f(z)\right)}{dz}}=c\cdot f'(z)\qquad {\frac {d\left(f(z)+g(z)\right)}{dz}}=f'(z)+g'(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218b2266b49be647bc7085e273f4be5064aca89d)
e valgono la regola del prodotto:
![{\displaystyle {\frac {d\left(f(z)\cdot g(z)\right)}{dz}}=f(z)\cdot g'(z)+f'(z)\cdot g(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa99177e875675f19334f54a7b35f1b7dcad4df)
e del rapporto:
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\cdot \left({\frac {f(z)}{g(z)}}\right)={\frac {f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)}{(g(z))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d71651ac709e20a2cffef26da8b916fd7ac3e4)
Se inoltre
, si ha la regola della catena:
![{\displaystyle h'(z_{0})=g'\left(f(z_{0})\right)\cdot f'(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3333647ac9502e8e48b7aa22bdcd4fdfcbe35a9e)
Condizioni di Cauchy-Riemann
Le funzioni olomorfe definite su un aperto sono funzioni analitiche o regolari. Si tratta quindi di funzioni complesse definite in un insieme aperto
per le quali esiste la derivata, continua, in ogni punto di questo insieme e le derivate parziali soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann.
Condizione necessaria
Supposto che esista la derivata di una funzione nel punto
allora le derivate parziali del primo ordine di
esistono, sono differenziabili e verificano le equazioni di Cauchy-Riemann.
Per dimostrare che esistono le derivate parziali della funzione, e che la parte reale ed immaginaria convergono rispettivamente alla parte reale ed immaginaria del limite (e che soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann), si sviluppa la definizione di derivata di una funzione complessa nella sua parte reale ed immaginaria nell'intorno del punto
, da cui otterremo le due relazioni fondamentali note come equazioni di Cauchy-Riemann:
![{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb087029e341d1680abd01f95a4641fa01a4d641)
dove il rapporto si può scrivere:
![{\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x+i\Delta y}}+i\cdot {\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x+i\Delta y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6ce125964f588ce780fe70bc99569f0f569a91)
Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo orizzontalmente come
, si ottiene:
![{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+i\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa1c92a38cdcc59c04f25487a91486b3464b503)
![{\displaystyle ={\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial x}}+i\cdot {\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial x}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+i\cdot v_{x}(x_{0},y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de13eb5badb1b00afd1fdbdf8415233ea85ea1bb)
Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo verticalmente come
, si ottiene:
![{\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {u(x_{0},y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+i\cdot \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {v(x_{0},y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c615ef73bd472fe26926e425aecc8761ba30a447)
![{\displaystyle =-i\cdot {\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial y}}+{\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=-i\cdot u_{y}(x_{0},y_{0})+v_{y}(x_{0},y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fed70d46334c64a3285e4ce82195a45b5d2e204)
In questo modo si vede che uguagliando parti reali e parti immaginarie dalle equazioni precedenti, cosa permessaci dall'ipotesi di olomorfia sulla funzione, si ottengono le equazioni di Cauchy-Riemann:
![{\displaystyle {\begin{cases}u_{x}(x_{0},y_{0})=v_{y}(x_{0},y_{0})\\u_{y}(x_{0},y_{0})=-v_{x}(x_{0},y_{0})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154928e63226a528e38d11ba4ecfb0547e3ac3a5)
Resta da dimostrare che
e
sono differenziabili. Dalla definizione di differenziabilità della funzione:
![{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})-f'(z_{0})\Delta z}{\Delta z}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263c4b9d21f10ee2a92351b223363e1e7b2d31d6)
Questo limite afferma che per:
![{\displaystyle |\Delta z|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5374fbb32066b04e6f0a66d77006fc650902e8c2)
la differenza a numeratore tende a zero. Sviluppando in parte reale ed immaginaria questo equivale:
![{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta u+i\Delta v|}{|\Delta z|}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184bdbf56e477445aeda415f6c42d4d64adf3b4e)
![{\displaystyle =\lim _{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})-u_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x-u_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cead178686e294a54150bdcdf138f2c320452201)
![{\displaystyle +i\cdot {\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})-v_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x-v_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3643d4255ca8f31902e97a2fecfc1e9453ec16)
Questo limite esiste se e solo se sia la parte reale che immaginaria tendono allo stesso limite, cioè è zero se e solo se:
![{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta u|}{|\Delta z|}}=0\qquad \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta v|}{|\Delta z|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974108142c0215a15e81bffea0417d30cd42bf1f)
dalle quali si vede che
e
sono differenziabili in
.
Condizione sufficiente
Si consideri la funzione
, definita in un intorno del punto
. Si supponga che esistano le derivate parziali:
,
,
e
, siano continue e soddisfino le equazioni di Cauchy-Riemann. Allora
è derivabile in questo punto.
Per mostrare che:
![{\displaystyle f'(z)=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta \omega }{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\cdot \Delta v}{\Delta z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b05d320351887e6890d36fa2935f2367f44c06)
si può sviluppare questo limite nella parte reale e immaginaria e sfruttare la continuità delle derivate parziali:
![{\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})\\\Delta v=v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd049664e23c105f435527e60452d52360a6537)
da cui:
![{\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=u_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+u_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\varepsilon _{1}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\\\Delta v=v_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+v_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\varepsilon _{2}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7ecd5663b7f9826d6859518d8e774ee5be6f77)
dove
e
per
.
Poiché per ipotesi valgono le equazioni di Cauchy-Riemann, si può scrivere il rapporto incrementale come:
![{\displaystyle {\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta z}}={\frac {\Delta u+i\cdot \Delta v}{\Delta z}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+iv_{x}(x_{0},y_{0})+(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}){\frac {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}{\Delta z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e4f694f5b1b31e2ed62bf50a50ac1a9cc6fa1d)
Ma:
![{\displaystyle {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=|\Delta z|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d88ddd3163f75e56c97124976b05173e950774)
quindi l'ultima frazione al secondo membro è 1; mentre
per
. Per cui il limite del rapporto scritto sopra è la derivata.
Le forme con cui si può scrivere la derivata sono le seguenti:
![{\displaystyle f'(z)={\begin{cases}u_{x}(x,y)+iv_{x}(x,y)\\v_{y}(x,y)-iu_{y}(x,y)\\u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)\\v_{y}(x,y)+iv_{x}(x,y)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ef66d2cdbc50f91566901827391d228adebcd8)
Esempi
Esempio 1
La
(coniugio) non è
-derivabile: dovrebbe esistere il
![{\displaystyle \lim _{u\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}+u}}-{\overline {z_{0}}}}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}}}+{\overline {u}}-{\overline {z_{0}}}}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {\overline {u}}{u}}=\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {h-ik}{h+ik}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cedb2a7162303b7eb6c52dcf374f9154f3436e)
Se questo limite esistesse, lungo l'asse
dovrebbe essere:
![{\displaystyle \lim _{{h+ik\rightarrow 0} \atop {k=0}}{\frac {h-ik}{h+ik}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901ab7b0b95e1ab7022b2fb772f801599872a8cf)
mentre lungo l'asse
:
![{\displaystyle \lim _{{h+ik\rightarrow 0} \atop {h=0}}{\frac {h-ik}{h+ik}}=\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {-ik}{ik}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037104f4fa5a5cc30b92d6e4f242dcd7ded0981b)
dunque la
non è derivabile.
Esempio 2
La
è invece derivabile. Si ha:
![{\displaystyle \lim _{u\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {(z_{0}+u)^{2}-{z_{0}}^{2}}{u}}=\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {((x_{0}+h)+i(y_{0}+k))^{2}-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c581b220e6c2b4c13d216b14174591b2339a7c70)
![{\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {((x_{0}+iy_{0})+(h+ik))^{2}-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecb4e8d1aed33abda24b3f9fe1fe73beaf0f799)
![{\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {(x_{0}+iy_{0})^{2}+(h+ik)^{2}+2(x_{0}+iy_{0})(h+ik)-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed20f5bd070096c9f892991d8f79845fb2cb848)
![{\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {(h+ik)^{2}+2(x_{0}+iy_{0})(h+ik)}{h+ik}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209ee7b9b288dd03354895e0afaf7bb20e604ee2)
![{\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}(h+ik)+2(x_{0}+iy_{0})=2(x_{0}+iy_{0})=2z_{0}=f'_{z}(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466bf382451bd694951dc314e397e469fff623fc)
e questo limite è lo stesso lungo ogni restrizione.
Note
- ^ Weisstein, Eric W. Derivative. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
- ^ Rowland, Todd. Complex Differentiable. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
- ^ Weisstein, Eric W. Cauchy-Riemann Equations. From MathWorld, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 25-11-2012.
Bibliografia
- (EN) Shilov, G. E. Elementary Real and Complex Analysis. New York: Dover, p. 379, 1996.
- (EN) Krantz, S. G. "The Complex Derivative." §1.3.5 and 2.2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 15-16 and 24, 1999.
Voci correlate
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