Derivata simmetrica

Nella matematica, la derivata simmetrica è un'operazione che generalizza l'usuale derivata. È definita come:

${\displaystyle f_{s}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.}$^[1][2]

L'espressione all'interno del limite viene spesso chiamata rapporto incrementale simmetrico.^[3][4] Una funzione si dice simmetricamente derivabile nel punto ${\displaystyle x}$ se la sua derivata simmetrica esiste in quel punto.

Se una funzione è derivabile (nel senso usuale) in un punto, allora è anche simmetricamente derivabile, ma l'inverso non è sempre vero. Un noto controesempio è la funzione valore assoluto ${\displaystyle f(x)=|x|}$, che non è derivabile in ${\displaystyle x=0}$ ma lo è simmetricamente con derivata simmetrica uguale a ${\displaystyle 0}$. Per le funzioni derivabili, il rapporto incrementale simmetrico fornisce una migliore approssimazione numerica della derivata rispetto a quello usuale.^[3]

La derivata simmetrica in un punto è uguale alla media aritmetica della derivata destra e sinistra in quel punto, se quest'ultime esistono finite.^[1][5]

Per quanto riguarda la derivata simmetrica, non valgono né il teorema di Rolle né il teorema di Lagrange, tuttavia esistono degli enunciati simili più deboli.

Per la funzione modulo, ${\displaystyle f(x)=\left\vert x\right\vert }$, si ha in ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\vert h\right\vert -\left\vert -h\right\vert }{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {h-(-(-h))}{2h}}\\&=0,\\\end{aligned}}}$

dove si ha ${\displaystyle \left\vert -h\right\vert }$ = ${\displaystyle -(-h)}$ poiché ${\displaystyle h>0}$. Perciò, si osserva che esiste la derivata simmetrica in ${\displaystyle x=0}$ e è uguale a zero, sebbene la derivata usuale non esista in tale punto a causa di un punto angoloso. Come conseguenza, la funzione derivata simmetrica di ${\displaystyle f(x)=|x|}$ coincide con la funzione segno ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$. Da notare che in questo esempio sia la derivata sinistra che destra esistono, ma sono tra loro diverse (la prima è ${\displaystyle -1}$ e l'altra è ${\displaystyle 1}$); la loro media è ${\displaystyle 0}$, come ci si aspettava. la funzione derivata simmetrica della

Per la funzione ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$, si ha in ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}\\&=0,\\\end{aligned}}}$

dove di nuovo ${\displaystyle h>0}$. Anche per questa funzione la sua derivata simmetrica esiste in ${\displaystyle x=0}$, mentre non esiste la sua derivata ordinaria a causa della discontinuità essenziale in tale punto.

La funzione di Dirichlet, definita come

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x{\text{ è razionale}}\\0,&{\text{se }}x{\text{ è irrazionale}}\end{cases}}}$

ha derivata simmetrica ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Q} }$, mentre ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$ non esiste. Perciò la derivata simmetrica esiste nei numeri razionali e non nei numeri irrazionali.

Ogni funzione derivabile in ${\displaystyle x_{0}}$è ivi anche simmetricamente derivabile e il valore della derivata simmetrica coincide con il valore della derivata. Formalmente, se la funzione ${\displaystyle f(x)}$ è derivabile in ${\displaystyle x_{0}}$, allora esiste finita la derivata simmetrica in ${\displaystyle x=x_{0}}$ ed è uguale a ${\displaystyle f'(x_{0})}$. Più in generale, se la funzione ammette derivata destra e sinistra entrambe finite in ${\displaystyle x_{0}}$, allora esiste finita la derivata simmetrica in ${\displaystyle x=x_{0}}$ ed è uguale a ${\displaystyle (f_{+}'(x_{0})+f'_{-}(x_{0}))/2}$, cioè la media aritmetica dei valori della derivata destra e sinistra nel punto.

La derivata simmetrica in ${\displaystyle x=x_{0}}$ è definita come

${\displaystyle f_{s}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}}.}$

Sommando e sottraendo ${\displaystyle f(x_{0})}$ al numeratore si ottiene

${\displaystyle f_{s}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{2h}}=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{2h}}+{\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-2h}}\right).}$

Il primo addendo tende a ${\displaystyle f_{+}'(x_{0})/2}$ mentre il secondo a ${\displaystyle f_{-}'(x_{0})/2}$. Pertanto, poiché i limiti sono finiti per ipotesi, la derivata simmetrica esiste finita e dalla somma dei limiti si ha

${\displaystyle f_{s}(x_{0})={\frac {f_{+}'(x_{0})+f_{-}'(x_{0})}{2}}.}$

In particolare, se la funzione è derivabile, allora ${\displaystyle f_{+}'(x_{0})=f_{-}'(x_{0})}$ e perciò

${\displaystyle f_{s}(x_{0})=f'(x_{0}).}$

La derivata simmetrica non obbedisce al teorema del valor medio di Lagrange. Come controesempio, la derivata simmetrica di ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ha come immagine l'insieme ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$, ma le secanti di ${\displaystyle f}$ hanno un intervallo maggiore di pendenze; per esempio, sull'intervallo ${\displaystyle [-1,2]}$, il teorema di Lagrange affermerebbe che esiste un punto nell'intervallo in cui la derivata simmetrica vale ${\displaystyle {\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}}$.^[6]

Un teorema in qualche modo analogo al teorema di Rolle per le derivate simmetriche venne stabilito nel 1967 da C.E. Aull, che gli diede il nome di "quasi-teorema di Rolle". L'enunciato afferma che, se la funzione ${\displaystyle f}$ è continua nell'intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$, derivabile simmetricamente nell'intervallo aperto ${\displaystyle (a,b)}$ e ${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$, allora esistono due punti ${\displaystyle x,y\in (a,b)}$ tali che ${\displaystyle f_{s}(x)\geq 0}$ e ${\displaystyle f_{s}(y)\leq 0}$. Un lemma di Aull utilizzato come primo passo verso il teorema afferma che se ${\displaystyle f}$ è continua nell'intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$, derivabile simmetricamente in ${\displaystyle (a,b)}$ e inoltre ${\displaystyle f(b)>f(a)}$, allora esiste un punto ${\displaystyle z\in (a,b)}$ dove la derivata simmetrica è non negativa, cioè ${\displaystyle f_{s}(z)\geq 0}$. In modo analogo, se ${\displaystyle f(b)<f(a)}$, allora esiste un punto ${\displaystyle z\in (a,b)}$ dove ${\displaystyle f_{s}(z)\leq 0}$.^[6]

Il quasi-teorema del valor intermedio per una funzione simmetricamente derivabile afferma che se è continua nell'intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$ e derivabile simmetricamente in ${\displaystyle (a,b)}$, allora esistono ${\displaystyle x,y\in (a,b)}$ tali che

${\displaystyle f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leq f_{s}(y)}$.^[6][7]

Come applicazione, il quasi-teorema del valor medio applicato a ${\displaystyle f(x)=|x|}$ in un intervallo contenente ${\displaystyle x=0}$ asserisce che ogni secante di ${\displaystyle f}$ ha pendenza compresa fra ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle -1}$

Se la derivata simmetrica di ${\displaystyle f}$ possiede la proprietà di Darboux, allora vale la forma normale del teorema di Lagrange, cioè esiste ${\displaystyle z}$ appartenente a ${\displaystyle (a,b)}$ tale che:

${\displaystyle f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.^[6]

Come conseguenza, se la funzione è continua e anche la sua derivata simmetrica è continua (e perciò ha la proprietà di Darboux), allora la funzione è derivabile nel senso usuale.^[6]

Il concetto si può generalizzare anche alle derivate di ordine superiore e agli spazi euclidei n-dimensionali.

La derivata seconda simmetrica è definita come

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$^[2][8]

Se la derivata seconda usuale esiste, allora anche quella simmetrica esiste e le due coincidono.^[8] Tuttavia la derivata seconda simmetrica può esistere anche dove la funzione non è derivabile due volte. Come esempio, si consideri la funzione segno ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ che è definita da

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

La funzione segno non è continua in zero e pertanto la derivata seconda in ${\displaystyle x=0}$ non esiste, al contrario della derivata seconda simmetrica:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {1-2\cdot 0+(-1)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}\\&=0\end{aligned}}}$

• Brian S. Thomson, Symmetric Properties of Real Functions, Marcel Dekker, 1994, ISBN 0-8247-9230-0.
• A.B. Kharazishvili, Strange Functions in Real Analysis, Second Edition, CRC Press, 2005, p. 34, ISBN 978-1-4200-3484-4.
• Aull, C.E.: "The first symmetric derivative". Am. Math. Mon. 74, 708–711 (1967)

• Generalizzazioni della derivata
• Teorema di Lagrange
• Calcolo frazionario
• Derivata debole

• Approssimare la derivata con il rapporto incrementale simmetrico (Wolfram Demonstrations Project)

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