Centro di un gruppo

In matematica, dato un gruppo ${\displaystyle G}$, il centro ${\displaystyle C}$ di ${\displaystyle G}$ è il sottoinsieme di ${\displaystyle G}$ costituito dagli elementi di ${\displaystyle G}$ che commutano con tutti gli elementi di ${\displaystyle G}$ (compresi quelli non appartenenti a ${\displaystyle C}$),^[1] in formule:

${\displaystyle C:=\{c\in G\mid gc=cg{\text{ per ogni }}g\in G\}.}$

Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo abeliano, chiaramente, ${\displaystyle C=G}$.

${\displaystyle C}$ è un sottogruppo abeliano e anche un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$: infatti, presi ${\displaystyle c\in C}$ e ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle gc=cg}$ implica ${\displaystyle gcg^{-1}=cgg^{-1}=c1_{G}=c}$. Questa proprietà permette sempre di costruire il gruppo quoziente ${\displaystyle G/C}$. In particolare vale che il centro è un sottogruppo caratteristico, ovvero è invariante per ogni automorfismo.

Esempi

Consideriamo il gruppo ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ delle matrici quadrate invertibili di ordine ${\displaystyle n}$ ad elementi reali, munite dell'usuale prodotto righe per colonne. Il centro di questo gruppo è dato dai multipli dell'unità ${\displaystyle \lambda I}$, cioè dalle matrici diagonali con tutti elementi uguali sulla diagonale. Nel passare al quoziente, vengono identificate le matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ tali che esista un ${\displaystyle \lambda }$ reale per cui valga ${\displaystyle A=\lambda B}$. I multipli dell'unità vengono quindi identificati con l'elemento unità, che resta il solo a commutare con tutto il resto del gruppo, questo non impedisce che due matrici arbitrarie possano comunque commutare tra di loro.

Altri esempi:

• Il centro del gruppo ortogonale ${\displaystyle O(n)}$ è dato da ${\displaystyle \{I,-I\}}$.
• Il centro del gruppo dei quaternioni ${\displaystyle Q=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}}$ è dato da ${\displaystyle \{1,-1\}}$.

Note

Bibliografia

• Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
• Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic Press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Voci correlate

• Teoria dei gruppi
• Centralizzatore
• Classe di coniugio

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