Kategori modul

Dalam aljabar, diberi gelanggang R, kategori modul kiri di atas R adalah kategori yang objek semuanya tersisa modul di atas R . Misalnya, jika R adalah ring integer s 'Z' , itu sama dengan kategori grup abelian. Kategori modul yang tepat didefinisikan dengan cara yang serupa.

Catatan: Beberapa penulis menggunakan istilah kategori modul untuk kategori modul. Istilah ini bisa ambigu karena bisa juga merujuk ke kategori dengan tindakan kategori-monoid.^[1]

Sifat

Kategori modul kiri dan kanan adalah kategori abelian. Kategori ini memiliki proyektif cukup^[2] dan injeksi cukup.^[3] Teorema embedding Mitchell menyatakan setiap kategori abelian muncul sebagai subkategori lengkap dari kategori modul.

Limit proyektif dan batas induktif ada dalam kategori modul kiri dan kanan.^[4]

Di atas gelanggang komutatif, bersama dengan hasil kali tensor modul ⊗, kategori modul adalah kategori monoidal simetris.

Kategori ruang vektor

kategori K-Vekt (beberapa penulis menggunakan Vekt_K) memiliki semua ruang vektor di atas bidang K sebagai objek, dan K - peta linier sebagai morfisme. Karena ruang vektor di atas K (sebagai bidang) sama dengan modul di atas gelanggang K, K-Vect adalah kasus khusus R-Mod, kategori kiri R - modul.

Banyak dari aljabar linier berkaitan dengan deskripsi K-Vekt. Misalnya, teorema dimensi untuk ruang vektor mengatakan bahwa kelas isomorfisme ada di K-Vect sesuai persis dengan bilangan kardinal, dan itu K-Vekt adalah ekuivalen dengan subkategori dari K-Vekt yang memiliki ruang vektor sebagai objeknya Kⁿ, dengan n adalah bilangan kardinal.

Generalisasi

Kategori berkas modul di atas ruang berdering juga memiliki cukup suntikan (meskipun tidak selalu cukup proyektif).

Lihat pula

Teori-K aljabar (invarian penting dari kategori modul.)
Kategori gelanggang
Kategori turunan
Spektrum modul
Kategori ruang vektor bertingkat
Kategori grup abelian
Kategori representasi

Catatan

^ "module category in nLab". ncatlab.org.
^ sepele karena modul apa pun adalah hasil bagi dari modul bebas.
^ Dummit–Foote, Ch. 10, Theorem 38.
^ Bourbaki, § 6.

Referensi

Bourbaki, Algèbre; "Algèbre linéaire."
Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra.
Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (edisi ke-second). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.