Relativisztikus Doppler-effektus

A relativisztikus Doppler-effektus kiszámítása a klasszikus Doppler-effektushoz hasonlóan történik, azzal a különbséggel, hogy a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz-transzformációt alkalmazzuk a forrás és a közeg, illetve a közeg és a megfigyelő közötti váltásoknál.

Egydimenziós eset vizsgálata

Vizsgáljuk először az egydimenziós esetet, legyen a közeghez rögzített koordináta-rendszerben ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle v_{f}}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle v_{m}}$ rendre a fénysebesség, a hullámsebesség, a forrás helye, sebessége, a megfigyelő helye és sebessége. Legyen továbbá ${\displaystyle n}$=1, ha a hullámok balról (negatív irányból) érik a megfigyelőt, és ${\displaystyle n}$=-1, ha jobbról (pozitív irányból).

Ha a forrás mozog és a megfigyelő áll, a tapasztalt frekvencia:

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {1-{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {w}{|w-nv_{f}|}}}$

Ha a megfigyelő mozog és a forrás áll, a képlet a következő:

${\displaystyle f=f_{0}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-nv_{m}|}{w}}}$

Az általános esetben (a forrás és a megfigyelő is mozog):

${\displaystyle f=f_{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v_{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-nv_{m}|}{|w-nv_{f}|}}=f_{0}{\frac {\sqrt {c^{2}-v_{f}^{2}}}{\sqrt {c^{2}-v_{m}^{2}}}}{\frac {|w-nv_{m}|}{|w-nv_{f}|}}}$

Abban a speciális esetben ha ${\displaystyle w=c}$, a képletek a következőképpen egyszerűsödnek (az előbbivel azonos sorrendben felírva):

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+nv_{f}}{c-nv_{f}}}}}$

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-nv_{m}}{c+nv_{m}}}}}$

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+nv_{f}}{c-nv_{f}}}}{\sqrt {\frac {c-nv_{m}}{c+nv_{m}}}}}$

Legyen ${\displaystyle v_{r}}$ a megfigyelő forráshoz viszonyított sebessége (a relativisztikus sebesség-összeadás szabályai szerint):

${\displaystyle v_{r}={\frac {v_{m}-v_{f}}{1-{\frac {v_{m}v_{f}}{c^{2}}}}}}$

Ekkor a képletek a ${\displaystyle v_{r}}$ felhasználásával a következő alakban foglalhatók össze:

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-nv_{r}}{c+nv_{r}}}}}$

Ebből a formából látható, hogy fénysebességű hullámok esetében a közeghez viszonyított sebességnek nincs jelentősége, csak a forrás és a megfigyelő egymáshoz viszonyt sebessége befolyásolja a mérhető frekvenciát.

Többdimenziós eset vizsgálata

A többdimenziós eset vizsgálatánál ${\displaystyle \mathbf {f} ,\mathbf {m} ,\mathbf {v} _{f},\mathbf {v} _{m}}$ vektorok lesznek, ${\displaystyle w}$ és ${\displaystyle c}$ továbbra is skalár. (Továbbra is feltesszük hogy a forrás és a megfigyelő egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, és hogy a forrás frekvenciája állandó.) Először oldjuk meg τ-re az alábbi egyenletet:

${\displaystyle |\mathbf {m} -(\mathbf {f} -\tau \mathbf {v} _{f})|=w\tau }$

Ha található egy (esetleg két) megfelelő τ érték, akkor jelölje ${\displaystyle n}$ (pontosabban ${\displaystyle n_{\tau }}$) a képletben szereplő vektor irányába mutató egységvektort:

${\displaystyle \mathbf {n} :={\frac {\mathbf {m} -(\mathbf {f} -\tau \mathbf {v} _{f})}{|\mathbf {m} -(\mathbf {f} -\tau \mathbf {v} _{f})|}}}$

Ezen egységvektor felhasználásával az egydimenziós esetből kapott képleteket az alábbi formában írhatjuk fel (azonos sorrendben: mozgó forrás, mozgó megfigyelő, mindkettő mozog):

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {w}{|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}|}}}$

${\displaystyle f=f_{0}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}|}{w}}}$

${\displaystyle f=f_{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{f}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} _{m}^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}|}{|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}|}}=f_{0}{\frac {\sqrt {c^{2}-v_{f}^{2}}}{\sqrt {c^{2}-v_{m}^{2}}}}{\frac {|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}|}{|w-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}|}}}$

Az egydimenziós esethez hasonlóan itt is egyszerűsödnek a képletek abban a speciális esetben, ha w=c, azaz a fénysebességgel terjedő hullámokról van szó:

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}{c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}}}}$

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}{c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}}}}$

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}{c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{f}}}}{\sqrt {\frac {c-\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}{c+\mathbf {n} \mathbf {v} _{m}}}}}$

Figyelem, ezen a ponton nem ismételhetjük meg mechanikusan az egydimenziós eset utolsó képletét, mivel az ${\displaystyle \mathbf {n} }$ vektort a közeghez rögzített rendszerben számoltuk ki. Ha ${\displaystyle \mathbf {v} _{r}}$ a megfigyelő sebessége a forráshoz képest, és ${\displaystyle \mathbf {n} _{r}}$-t a forráshoz rögzített rendszerben számoltuk ki, akkor használhatjuk ezt a formát:

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-\mathbf {n} _{r}\mathbf {v} _{r}}{c+\mathbf {n} _{r}\mathbf {v} _{r}}}}}$

Geometriai levezetés

Jelölések: ${\displaystyle c\,}$ a fénysebesség, ${\displaystyle v\,}$ a megfigyelő a jel forráshoz való közeledésének a sebessége, ${\displaystyle T_{0}\,}$ a jel kibocsátások időkülönbsége, ${\displaystyle T\,}$ a megfigyelő által észlelt időkülönbség, ${\displaystyle t\,}$ pedig egy segédváltozó.

Az ábráról látszik, hogy ${\displaystyle cT_{0}=ct+vt\,}$ azaz ${\displaystyle t={\frac {c}{c+v}}T_{0}}$. Ha ezt átírnánk frekvenciára pont a klasszikus Doppler-effektust kapnánk.

Az idődilatáció miatt:

${\displaystyle T={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot t}$

Ezekből

${\displaystyle T={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot {\frac {cT_{0}}{c+v}}={\frac {\sqrt {1-v/c}}{\sqrt {1+v/c}}}\cdot T_{0}}$

Mivel a frekvencia a hullámhossz reciprokával arányos, így azt kapjuk, hogy

${\displaystyle f={\frac {\sqrt {1+v/c}}{\sqrt {1-v/c}}}\cdot f_{0}}$

Távolodó megfigyelő esetén ${\displaystyle cT_{0}=ct-vt\,}$ azaz ${\displaystyle t={\frac {cT_{0}}{c-v}}}$ Ezért a megfelelő formula:

${\displaystyle f={\frac {\sqrt {1-v/c}}{\sqrt {1+v/c}}}\cdot f_{0}}$

Amit úgy is megkaphatunk, hogy ${\displaystyle v\,}$ helyére ${\displaystyle -v\,}$-t helyettesítünk.

Alkalmazás

Sebességmérés radar használatával

A forráshoz képest mozgó tárgyról visszaverődő fény (elektromágneses hullám), kétszeres Doppler-transzformációt szenved el, tehát a visszavert jel frekvenciája:

${\displaystyle f=f_{0}{\sqrt {\frac {c-nv_{r}}{c+nv_{r}}}}^{2}=f_{0}{\frac {c-nv_{r}}{c+nv_{r}}}}$

Ez a képlet felhasználható a v_r sebesség kiszámítására:

${\displaystyle nv_{r}=c{\frac {f_{0}-f}{f_{0}+f}}}$

Látható, hogy a frekvencia csökkenése (f < f₀) távolodó mozgást (${\displaystyle nv_{r}>0}$) jelent, a frekvencia növekedése (f > f₀) pedig közeledő mozgást (${\displaystyle nv_{r}<0}$).

Külső hivatkozás

• Interaktív Java szimuláció a klasszikus és a relativisztikus Doppler-effektusról. Szerző: Wolfgang Christian