Théorème de Frisch-Waugh

Théorème de Frisch-Waugh
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Le théorème de Frisch-Waugh ou théorème de Frisch-Waugh-Lovell est un théorème en économétrie nommé en référence à Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh et Michael C. Lovell.

Ragnar Frisch

Formalisation

Soit le modèle de régression linéaire suivant :

Y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + u {\displaystyle Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u\!}

avec X 1 {\displaystyle X_{1}} et X 2 {\displaystyle X_{2}} deux matrices de taille n × k 1 {\displaystyle n\times k_{1}} et n × k 2 {\displaystyle n\times k_{2}} .

D'après le théorème de Frisch-Waugh, l'estimation du vecteur de coefficients β 2 {\displaystyle \beta _{2}} sera la même que dans le modèle linéaire suivant :

M X 1 Y = M X 1 X 2 β 2 + M X 1 u , {\displaystyle M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u\!,}

avec M X 1 {\displaystyle M_{X_{1}}} la matrice de projection orthogonale sur le complément orthogonal de l'espace vectoriel engendré par les colonnes de X 1 {\displaystyle X_{1}}  :

M X 1 = I − X 1 ( X 1 ′ X 1 ) − 1 X 1 ′ . {\displaystyle M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'.\!}

Bibliographie

  • (en) Ragnar Frisch et Frederick V. Waugh, « Partial Time Regressions as Compared with Individual Trends », Econometrica, vol. 1, no 4,‎ , p. 387–401 (JSTOR 1907330)
  • (en) Michael Lovell, « Seasonal Adjustment of Economic Time Series and Multiple Regression Analysis », Journal of the American Statistical Association, vol. 58, no 304,‎ , p. 993–1010 (DOI 10.1080/01621459.1963.10480682)

Voir aussi

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  • icône décorative Portail des probabilités et de la statistique