Loi de Lambert

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La loi de Lambert indique que, pour une source lumineuse orthotrope, l'exitance est proportionnelle à la luminance et le coefficient de proportionnalité est ${\displaystyle \pi }$^[1],[2]. Autrement dit, si ${\displaystyle M}$ désigne l'exitance et ${\displaystyle L}$ la luminance, pour une source lumineuse orthotrope, on a :

${\displaystyle M=\pi \cdot L}$.

Certains auteurs appellent loi de Lambert, ou loi en cosinus de Lambert^[3], la relation qui exprime l'intensité lumineuse ${\displaystyle I}$ d'une source orthotrope en fonction de l'intensité lumineuse dans l'axe normal à la surface ${\displaystyle I(0)}$ et de l'angle ${\displaystyle \theta }$ par rapport à cette normale :

${\displaystyle I(\theta )=I(0)\,\cos \theta }$.

Démonstration

On utilise les coordonnées sphériques, angles de colatitude (ou zénithal) ${\displaystyle \theta }$ et d'azimut (ou longitude) ${\displaystyle \phi }$.

L'exitance est définie comme l'intégrale de la luminance sur le demi-espace (2π stéradians) :

${\displaystyle M=\int _{2\pi }L\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega }$,

avec

${\displaystyle d\Omega ={\frac {\mathrm {d} S}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }$.

${\displaystyle L}$ étant identique dans toutes les directions, on peut écrire :

${\displaystyle M=L\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =2\pi L\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta }$.

On effectue le changement de variable ${\displaystyle \mu =\sin \theta }$ et on obtient

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}\mu \,\mathrm {d} \mu ={\frac {1}{2}}}$,

d'où l'on déduit la loi de Lambert.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Photométrie
• Source lumineuse isotrope | Source lumineuse orthotrope

v · m Grandeurs et unités photométriques et radiométriques
La radiométrie et la photométrie recouvrent deux types de métrologie optique destinées à mesurer les rayonnements électromagnétiques.
Grandeurs	Photométriques Quantité de lumière Flux lumineux Intensité lumineuse Luminance lumineuse Éclairement lumineux Exitance lumineuse Exposition lumineuse Radiométriques Énergie électromagnétique Flux énergétique Intensité énergétique Luminance énergétique Éclairement énergétique Exitance énergétique Exposition énergétique
Unités SI	Quantité de lumière Énergie électromagnétique lumen-seconde (lm⋅s) joule (J) Flux lumineux Flux énergétique lumen (lm) watt (W) Intensité lumineuse Intensité énergétique candela (cd) watt par stéradian (W⋅sr−1) Luminance lumineuse Luminance énergétique candela par mètre carré (cd⋅m−2) watt par mètre carré et par stéradian (W⋅m−2⋅sr−1) Éclairement lumineux Éclairement énergétique lux (lx) watt par mètre carré (W⋅m−2) Exitance lumineuse Exitance énergétique lumen par mètre carré (lm⋅m−2) watt par mètre carré (W⋅m−2) Exposition lumineuse Exposition énergétique lux seconde (lx⋅s) joule par mètre carré (J⋅m−2)
Unités hors SI dont anglo-saxonnes	Intensité lumineuse bougie carcel rayleigh (R) Luminance lumineuse nit (nt) stilb (sb) blondel ou apostilb (asb) candela per square inch (cd⋅in−2) candela per square foot (cd⋅ft−2) lambert (L) footlambert (fL) skot (sk) Éclairement lumineux phot (ph) foot-candle (fc) nox (nx)
Autres	Source lumineuse isotrope Source lumineuse orthotrope Loi de Lambert Loi de Bouguer Loi de Stefan-Boltzmann Loi de Planck Loi de Wien Loi de Rayleigh-Jeans Loi du déplacement de Wien Corps noir Rayonnement Loi du rayonnement de Kirchhoff Glossaire de photométrie et de radiométrie
Pour chaque unité SI, la première ligne concerne la notion photométrique et la deuxième ligne la notion radiométrique.

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