Identités logarithmiques

Cet article dresse une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes.

Ces identités sont toutes valables à condition que les réels utilisés (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle d}$) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Valeurs particulières

Pour toute base ${\displaystyle a}$, on a :

• ${\displaystyle \log _{a}1=0}$.
• ${\displaystyle \log _{a}a=1}$.

Logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une exponentiation

Par définition des logarithmes, on a :

• ${\displaystyle \log _{c}(ab)=\log _{c}a+\log _{c}b}$.
• ${\displaystyle \log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)=\log _{c}a-\log _{c}b}$.
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \log _{c}(a^{x})=x\log _{c}a}$.

Ces trois identités permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, il est possible de les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Logarithme d'une somme

En partant des égalités ${\displaystyle a+b=a\left(1+{\frac {b}{a}}\right)=a\,b\,\left({\frac {a+b}{ab}}\right)}$, et en utilisant les propriétés du logarithme d'un produit, on aboutit aux résultats ci-dessous. Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement ${\displaystyle \log(a+b)}$ en fonction de ${\displaystyle \log(a)}$ et ${\displaystyle \log(b)}$ en évitant des dépassements des limites numériques^{[réf. nécessaire]}.

• ${\displaystyle \log _{c}(a+b)=\log _{c}a+\log _{c}b-\log _{c}\left({\frac {ab}{a+b}}\right)}$
• ${\displaystyle \log _{c}(a+b)=\log _{c}a+\log _{c}\left(1+{\frac {b}{a}}\right)}$

Réciprocité

• ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$.
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x}$.

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base

Relation de type Chasles :

${\displaystyle \log _{a}c=\log _{a}b\times \log _{b}c}$

Et en particulier (pour c = a), ${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$.

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux (de base 10) et naturels (de base e).

On en déduit :

${\displaystyle {\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}={\frac {\log _{c}d\times \log _{d}b}{\log _{c}d\times \log _{d}a}}={\frac {\log _{d}b}{\log _{d}a}}}$.

Limites

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }$ pour ${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty }$ pour ${\displaystyle a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty }$ pour ${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty }$ pour ${\displaystyle a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0}$

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

Dérivée

${\displaystyle \forall x>0\quad \log '_{a}(x)={\frac {1}{x\ln a}}}$

donc dans le cas particulier de la base e :

${\displaystyle \ln 'x={\frac {1}{x}}}$.

Primitive

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\log _{a}t\;\mathrm {d} t=\left[t\left(\log _{a}t-{\frac {1}{\ln a}}\right)\right]_{x_{0}}^{x}}$

donc dans le cas particulier de la base e :

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\ln t\;\mathrm {d} t=\left[t\left(\ln t-1\right)\right]_{x_{0}}^{x}}$.

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