Pyörähdyskappale

Pyörähdys­kappale on kolmi­ulotteinen kappale, jonka voidaan ajatella syntyvän jonkin käyrän rajoittaman tasoalueen pyörähtäessä avaruudessa jonkin kiinteän suoran, akselin ympäri.

Yksinkertaisimpia pyörähdys­kappaleita ovat lieriö ja kartio. Lieriö syntyy kahden suoran välisen alueen pyörähtäessä toisen suoran ympäri, kartio taas janan pyörähtäessä sen toisen pääte­pisteen kautta kulkevan suoran ympäri. Ympyrän pyörähtäessä halkaisijansa ympäri syntyy pyörähdyskappaleena pallo. Jos ympyrä pyörähtää kokonaan sen ulko­puolella olevan suoran ympäri, saadaan renkaan tai munkkirinkelin muotoinen, toruspinnan rajoittama kappale.^[1] Ellipsin pyörähtäessä isoakselinsa ympäri syntyy pyörähdysellipsoidi.

Käytännössä pyörähdys­kappaleita ovat muodoltaan monet astiat sekä yleensä sorvin avulla valmistetut esineet.

Pyörähdyskappaleet ovat symmetrisiä kaikkien akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Niiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorilla tasoilla on ympyrä.

Pyörähdyskappaleen rajapinta on pyörähdyspinta.

Tilavuus

Mikäli pyörähtävää aluetta rajoittava käyrä voidaan esittää jonkin funktion kuvaajana, voidaan pyörähdys­kappaleen tilavuus määrittää integraalilaskennan avulla. Oletetaan, että f on välillä [a,b] jatkuva positiivinen funktio ja että pyörähtävää aluetta A rajoittavat käyrä y = f(x) sekä suorat y=0, x=a ja y=b. Tällöin alueen A pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy pyörähdys­kappale, johon kuuluvat pisteet (x,y,z) toteuttavat epäyhtälöt

${\displaystyle a<x<b}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}<f(x)^{2}}$

Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on^[2]

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\!f(x)^{2}\,dx\,}$.

Korkeammissa ulottuvuuksissa

Jos käyrä y=f(x) pyörähtää x-akselin ympäri (n+1)-ulotteisessa avaruudessa, on x-akseli kohtisuoraan n-ulotteista avaruutta vastaan, jolloin jokainen käyrän piste rajaa n-ulotteisen pallon tilavuuden. Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on

${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)}}\int _{a}^{b}f(x)^{n}dx}$

Missä ${\displaystyle \Gamma }$ on gammafunktio.

Pyörähtääkseen on kappaleen kunkin pisteen rajattava pallopinta. Tämän pallopinnan ulottuvuudet määräävät ne koordinaattiakselit, jotka ovat kohtisuorassa pyörähdyksen akselia vastaan. Esimerkiksi kun käyrä ${\displaystyle y=f(x)}$ pyörähtää ${\displaystyle x,y,z}$-avaruudessa x-akselin ympäri, rajaa jokainen sen piste ${\displaystyle y,z}$-tason suuntaisen ympyrän. Tästä seuraa, että n-ulotteisessa avaruudessa pyörähdyksen akselin ei välttämättä ole oltava suora, vaan se voi olla enintään ${\displaystyle (n-2)}$-ulotteinen. Esimerkiksi ${\displaystyle x,y,z,w}$-avaruudessa ${\displaystyle x,y}$-tason ympäri pyörähtävän kappaleen pisteet rajaavat kukin ympyrän ${\displaystyle z,w}$-tasossa.

Lähteet

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pyörähdyskappale Wikimedia Commonsissa