Kannanvaihto

Kannanvaihto tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.^[1]

Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

Olkoot ${\displaystyle S=({\vec {u}}_{1},...,{\vec {u}}_{n})}$ ja ${\displaystyle T=({\vec {v}}_{1},...,{\vec {v}}_{n})}$ vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille ${\displaystyle {\vec {x}}}$ pätee ${\displaystyle [{\vec {x}}]_{T}}$=M(T←S)${\displaystyle [{\vec {x}}]_{S}}$, missä ${\displaystyle [{\vec {x}}]_{T}}$ on vektorin ${\displaystyle {\vec {x}}}$ koordinaattivektorin kannan T suhteen ja ${\displaystyle [{\vec {x}}]_{S}}$ vektorin ${\displaystyle {\vec {x}}}$ koordinaattivektorin kannan S suhteen.

Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [I_n|A], missä ${\displaystyle E=({\vec {e}}_{1},...,{\vec {e}}_{n})}$ on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

Olkoon ${\displaystyle E=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})}$ vektoriavaruuden R³ luonnollinen kanta ja olkoon ${\displaystyle S=({\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3})}$ vektoriavaruuden R³ toinen kanta, jossa ${\displaystyle {\vec {u}}_{1}={\begin{bmatrix}1\ 2\ 4\end{bmatrix}}^{T}}$, ${\displaystyle {\vec {u}}_{2}={\begin{bmatrix}0\ 1\ 1\end{bmatrix}}^{T}}$ ja ${\displaystyle {\vec {u}}_{3}={\begin{bmatrix}1\ 3\ 3\end{bmatrix}}^{T}}$. Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis

M(E←S)=${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&3\\4&1&3\end{bmatrix}}}$.

Olkoot ${\displaystyle S=({\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2})}$ ja ${\displaystyle T=({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2})}$ vektoriavaruuden R² kantoja, joille ${\displaystyle {\vec {u}}_{1}={\begin{bmatrix}2\ 1\end{bmatrix}}^{T}}$, ${\displaystyle {\vec {u}}_{2}={\begin{bmatrix}0\ 1\end{bmatrix}}^{T}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}={\begin{bmatrix}1\ -1\end{bmatrix}}^{T}}$ ja ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}={\begin{bmatrix}2\ 3\end{bmatrix}}^{T}}$. Olkoon lisäksi ${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{bmatrix}1\ 5\end{bmatrix}}^{T}}$. Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&|&2&0\\-1&3&|&1&1\end{bmatrix}}}$ redusoituun porrasmuotoon ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&|&4/5&-2/5\\0&1&|&3/5&1/5\end{bmatrix}}}$. Tällöin M(T←S)=${\displaystyle {\begin{bmatrix}4/5&-2/5\\3/5&1/5\end{bmatrix}}}$. Vektorin ${\displaystyle {\vec {a}}}$ koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla ${\displaystyle [{\vec {a}}]_{S}={\begin{bmatrix}1/2\ 9/2\end{bmatrix}}^{T}}$. Lasketaan vektorin ${\displaystyle {\vec {a}}}$ koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan

${\displaystyle [{\vec {a}}]_{T}}$=M(T←S)${\displaystyle [{\vec {a}}]_{S}}$=${\displaystyle {\begin{bmatrix}4/5&-2/5\\3/5&1/5\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/2\\9/2\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle {\begin{bmatrix}-7/5\\6/5\end{bmatrix}}}$.

• Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.
• David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.