![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Commons-emblem-question_book_orange.svg/40px-Commons-emblem-question_book_orange.svg.png) | Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Función generadora de probabilidad» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 30 de diciembre de 2020. |
Definición
Si
es una variable aleatoria entonces la función generatriz de probabilidades de
se define como las siguiente:
![{\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b179847f67309cea4f36c284476af26b70e91512)
para ciertos valores
tal que la esperanza exista.
En ocasiones se escribe
en lugar de
y se utilizan las letras f.g.p para referirse a la función generatriz de probabilidades.
Cálculo de la f.g.p.
Variables aleatorias discretas
Si
es una variable aleatoria discreta entonces su función generatriz de probabilidades está dada por:
![{\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }t^{k}P(X=k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed22dd33a02383f5167e6a9a261f455ed4b91736)
donde
con
denota la función de probabilidad.
A partir de lo anterior, no es difícil ver que
![{\displaystyle G_{X}(1)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }P(X=k)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67daf053b4408f6c5ad094aea53d2962898c4172)
Variables aleatorias continuas
Si
es una variable aleatoria continua entonces su función generatriz de probabilidades está dada por
![{\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\int _{x\in S}t^{x}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1f3d57d36eda804d7d4598664b5702b80cc111)
donde
denota la función de densidad y
denota el soporte de la variable aleatoria.
Propiedades
Para una variable aleatoria discreta
se pueden obtener las distribuciones de probabilidad
como
![{\displaystyle \displaystyle P(X=k)={\frac {1}{k!}}\left.{\frac {d^{k}G_{X}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e18becd6b8cda9fa90f2e058ee7049cab0e3964)
Si
y
son variables aleatorias independientes con f.g.p.
y
respectivamente entonces
.
f.g.p. para algunas distribuciones discretas
Si
entonces
.
Si
entonces
.
Si
entonces
.
Si
entonces
.
Si
entonces
.
Véase también
Control de autoridades | - Proyectos Wikimedia
Datos: Q372071 |
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Datos: Q372071