Lévy’sche Vermutung

Im mathematischen Teilgebiet der Additiven Zahlentheorie befasst sich die Lévy’sche Vermutung (englisch Levy’s conjecture) mit einer Fragestellung, die eng an die Goldbach’sche Vermutung anschließt.^{[A 1]} Die Vermutung wurde im Jahr 1963 von Hyman Levy vorgelegt und von einigen Autoren mit dessen Namen verbunden.^{[1][2][A 2]}

Zur Geschichte der Vermutung ist indes bekannt, dass schon im Jahre 1894 eine gleichwertige Vermutung von Émile Lemoine ausgesprochen wurde. Einige Autoren sprechen also eher von der Lemoine’schen Vermutung (englisch Lemoine’s conjecture) als von der Lévy’schen Vermutung.

Die Vermutung lässt sich wie folgt formulieren:^[1][2][3]

Jede ungerade natürliche Zahl ${\displaystyle \,u>5\,}$ lässt sich in der Form

${\displaystyle u=2\cdot p+q}$

mit zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen ${\displaystyle \,p\,}$ und ${\displaystyle \,q\,}$ darstellen.

${\displaystyle 13=2\cdot 3+7=2\cdot 5+3}$

${\displaystyle 19=2\cdot 3+13=2\cdot 7+5}$

${\displaystyle 47=2\cdot 2+43=2\cdot 3+41=2\cdot 5+37=2\cdot 17+13}$

Wie schon die Beispiele vermuten lassen, ist die oben angesprochene Darstellung in der Regel nicht eindeutig. In der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (von Neil Sloane) wird ausgewiesen, wie viele Möglichkeiten es für ein ungerades ${\displaystyle \,u\,}$ gibt, gemäß der Levy-Vermutung dargestellt zu werden. (Folge A046927 in OEIS)

• Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Vol. I: Divisibility and Primality. Chelsea Publishing Company, New York 1966 (MR0245499 – Reprint des Originals der Carnegie Institution of Washington, Washington, D.C., 1919). 
• Gábor Farkas, Zsófia Juhász: A generalization of Goldbach's conjecture. In: Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae. Sectio Computatorica. Band 46, 2017, S. 39–53 (MR3722662). 
• Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory (= Problem Books in Mathematics). 3. Auflage. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-1928-1, doi:10.1007/978-0-387-26677-0 (MR2076335). 
• Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405). 
• John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144). 
• H. Levy: On Goldbach’s Conjecture. In: The Mathematical Gazette. Band 47, 1963, S. 274. 
• E. Lemoine: ? In: L’intermédiaire des mathématiciens. Band 1, 1894, S. 179. 
• E. Lemoine: ? In: L’intermédiaire des mathématiciens. Band 3, 1896, S. 151. 
• James J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-58531-7 (MR1720399). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 

• Eric W. Weisstein: Levy's Conjecture. In: MathWorld (englisch).
• Levy's Conjecture auf Planetmath

1. ↑ ^{a b} Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 2004, S. 159
2. ↑ ^{a b} J. J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. 1999, S. 121.
3. ↑ Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 125

1. ↑ Die Bestätigung der Lévyschen Vermutung zieht, wie man leicht sieht, die der Schwachen Goldbach'schen Vermutung nach sich.
2. ↑ Die Lévy-Vermutung wird von Tattersall (op. cit., S. 121) fälschlicherweise einem Paul Levy zugewiesen, womit er möglicherweise auf den französische Mathematiker Paul Lévy verweisen möchte, der aber mit dieser zahlentheoretischen Vermutung, soweit bekannt, nichts zu tun hat.