Uzavřená množina

Uzavřená množina je abstrakce a zobecnění intuitivní představy uzavřeného intervalu na množině reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$, kde uzavřený je takový interval, který obsahuje své krajní body. Základním zobecněním je považovat za uzavřené množiny i konečná sjednocení intervalů (obecně množin, o nichž už víme, že jsou uzavřené).

O uzavřenosti množiny můžeme mluvit pouze ve vztahu k její konkrétní nadmnožině: Například polouzavřený interval ${\displaystyle (5,10\rangle }$ není uzavřený jako podmnožina množiny ${\displaystyle \mathbb {R} }$ reálných čísel, ale je uzavřený jako podmnožina intervalu ${\displaystyle (5,15)\,\!}$.

Dalším zobecněním je považovat za uzavřenou každou množinu, která obsahuje svou hranici, což lze interpretovat tak, že podmnožina ${\displaystyle A\,\!}$ množiny ${\displaystyle B\,\!}$ je uzavřená, jestliže pro každý bod ${\displaystyle x\in B\smallsetminus A\,\!}$ existuje nějaké okolí ${\displaystyle U\,\!}$, které neprotíná množinu ${\displaystyle A\,\!}$.

Protože účinným prostředkem, jak „uniknout“ z množiny, je použití limity nekonečné posloupnosti prvků množiny, definice uzavřené množiny často požadují, aby uzavřená množina obsahovala limity každé konvergentní posloupnosti prvků z množiny.

Topologický prostor poskytuje ještě obecnější definici uzavřené množiny – uzavřená je taková množina, která je doplňkem otevřené množiny.

Definice

Následující tři definice jsou ekvivalentní, každá z nich zobecňuje tu předchozí. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem; na metrických prostorech je množina uzavřená v metrickém smyslu, právě když je uzavřená v topologickém smyslu. Na metrickém prostoru reálných čísel pak splývají všechny tři definice. Uzavřenost je tedy zřetelným příkladem procesu, kdy je studována nějaká vlastnost konkrétních objektů a pak zobecňována na širší a abstraktnější matematické struktury.

Definice na reálných číslech

Říkáme, že množina ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} \!}$ je uzavřená, pokud pro každé ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \smallsetminus A\,\!}$ existuje kladné číslo ${\displaystyle \varepsilon >0\,\!}$ takové, že pro každé ${\displaystyle y\in \mathbb {R} \,\!}$ platí:

${\displaystyle \left|y-x\right|<\varepsilon \,\implies y\notin A\,\!}$

Tak například množina ${\displaystyle \langle 1,2\rangle \cup \langle 3,4\rangle \cup \langle 5,6\rangle \,\!}$ je uzavřená. Pokud by někdo zvolil za ${\displaystyle x}$ např. číslo 2,01 (záměrně číslo velmi blízké této množině), pak můžeme za ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$ zvolit např. jednu tisícinu nebo jednu miliardtinu.

Naproti tomu množina ${\displaystyle (5,10\rangle \,\!}$ v ${\displaystyle \mathbb {R} }$ uzavřená není, protože interval je polouzavřený. Za ${\displaystyle x}$ můžeme zvolit ${\displaystyle x=5}$ (které patří do ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ale ne do ${\displaystyle (5,10\rangle \,\!}$), žádné kladné ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$ nesplní výše uvedený vzorec. Zvolí-li někdo např. ${\displaystyle \varepsilon =0,001\,\!}$ , pak existuje ${\displaystyle y=5,0001\,\!}$ , pro které vzorec neplatí.

V této nejjednodušší definici zkoumáme množiny jako podmnožiny množiny všech reálných čísel. Pokud bychom zkoumali uzavřenost intervalu ${\displaystyle (5,10\rangle }$ jako podmnožiny ${\displaystyle (5,15)\,\!}$, nemůžeme použít ${\displaystyle x=5}$. Při volbě ${\displaystyle x=5,0001\,\!}$ , stačí vzít ${\displaystyle \varepsilon =0,00001\,\!}$ a ${\displaystyle y=5,00009\,\!}$ do množiny patří.

Definice v metrických prostorech

Definice v metrických prostorech je velmi podobná, ovšem je možno ji vztáhnout na širokou množinu matematických objektů. Například mezi body v rovině lze zavést metriku jako jejich klasickou (euklidovskou) vzdálenost, takže obvod čtverce bude uzavřená množina, celý čtverec také, ale vnitřek čtverce ne.

Na množině všech spojitých funkcí na intervalu ${\displaystyle \langle 0,1\rangle \,\!}$ lze zavést metriku tak, že „vzdálenost“ dvou funkcí bude maximální hodnota jejich rozdílu. Potom množina ${\displaystyle Y}$ všech funkcí takových, že f(0,5) = 10, bude uzavřená. Množina ${\displaystyle Z}$ všech funkcí, které jsou všude záporné, ale uzavřená nebude, neboť pro každé kladné ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$ lze uvažovat konstantní funkci f(x) = ${\displaystyle -\varepsilon \over 2\,\!}$, která leží v množině ${\displaystyle Z}$, ačkoli je „vzdálena o méně než ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$“ od nulové funkce, která v ${\displaystyle Z}$ neleží.

Definice zní takto: Buď ${\displaystyle (M,\rho )\,\!}$ metrický prostor a ${\displaystyle A\subseteq M\,\!}$. Potom ${\displaystyle A\,\!}$ je uzavřená, pokud pro každé ${\displaystyle x\in M\smallsetminus A\,\!}$ existuje ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}\,\!}$ takové, že pro každé ${\displaystyle y\in M\,\!}$ platí:

${\displaystyle \rho (x,y)<\varepsilon \,\implies \,y\notin A\,\!}$

Topologická definice

Uzavřená množina je taková množina topologického prostoru, jejíž doplněk je otevřená množina. Uzavřená množina obsahuje i svou hranici.

Uzavřená množina není opakem otevřené množiny. Existují totiž množiny, které jsou uzavřené i otevřené zároveň (tzv. obojetné množiny).

Nejmenší uzavřená množina, která obsahuje nějakou otevřenou množinu A jako svou podmnožinu se nazývá uzávěr množiny A.

Definice pomocí konvergence

Faktická přesnost tohoto článku byla zpochybněna.

Podrobnější zdůvodnění najdete v diskusi. Prosíme, neodstraňujte tuto zprávu, dokud nebudou pochybnosti vyřešeny.

---

Pro vkladatele šablony: Na diskusní stránce zdůvodněte vložení šablony.

Ve všech uvedených případech (reálná osa, metrický prostor a topologický prostor) lze definovat pojem konvergentní posloupnost. Potom každá výše uvedená definice je ekvivalentní s definicí, že množina je uzavřená, pokud z ní „nelze vykonvergovat“. Přesněji:

Množina ${\displaystyle A\subseteq M\,\!}$ je uzavřená, pokud pro každou posloupnost ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }\,\!}$, jejíž prvky leží v ${\displaystyle A\,\!}$, platí: Konverguje-li ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }\,\!}$ k prvku ${\displaystyle x\in M\,\!}$ , pak ${\displaystyle x\in A\,\!}$.

Příklad: Množina ${\displaystyle (1,2\rangle \,\!}$ není uzavřená, neboť z ní lze „vykonvergovat“ posloupností ${\displaystyle x_{n}=1+{1 \over n}\,\!}$, tedy posloupností

${\displaystyle 2,\,1{1 \over 2},\,1{1 \over 3},\,1{1 \over 4},\,1{1 \over 5}\dots \,\!}$

Její limitou (číslem, k němuž konverguje) je číslo 1, které v ${\displaystyle A}$ neleží.

Vlastnosti

Sjednocení konečného počtu uzavřených množin je uzavřená množina.

Průnik spočetně mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou uzavřené množiny.

Příklady

• Uzavřený interval ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ na množině reálných čísel je uzavřená množina.
• Jednotkový interval ${\displaystyle \langle 0,1\rangle }$ je uzavřený v metrickém prostoru reálných čísel a množina ${\displaystyle \langle 0,1\rangle \cap \mathbb {Q} }$ racionálních čísel mezi 0 a 1 (včetně) je uzavřená v prostoru racionálních čísel, ale ${\displaystyle \langle 0,1\rangle \cap \mathbb {Q} }$ není uzavřená v reálných číslech.
• Některé množiny nejsou ani otevřené ani uzavřené, například polouzavřený interval ${\displaystyle \langle 0,1)}$ v množině reálných čísel.
• Některé množiny jsou jak otevřené tak uzavřené (anglicky se nazývají clopen množiny).
• Interval ${\displaystyle \langle 0,+\infty )}$ je uzavřená množina.
• Cantorova množina je neobvyklá uzavřená množina v tom smyslu, že se skládá pouze z hraničních bodů a není nikde hustá.
• Izolované body (a tedy i konečné množiny) v Hausdorffově prostoru jsou uzavřené množiny.
• Množina všech prvočísel v množině všech reálných čísel je uzavřená množina, ale množina všech racionálních čísel v množině všech reálných čísel uzavřená není (doplnění množiny racionálních čísel, která je hustá v množině reálných čísel na úplnou množinu reálných čísel limitami všech konvergentních posloupností racionálnách čísel je jedním ze způsobů jak získat množinu reálných čísel).
• Jestliže X a Y jsou topologické prostory, funkce f z X do Y je spojitá právě tehdy, když obraz každé uzavřené množiny v Y je uzavřená v X.

Absolutně uzavřená množina

Množina A s nějakou metrikou se nazývá absolutně uzavřená, pokud je uzavřená jakožto podmnožina jakéhokoliv metrického prostoru. Tak množina ${\displaystyle (5,10\rangle }$ s metrikou ${\displaystyle \rho (x,y)=\left|x-y\right|}$ není absolutně uzavřená, protože je sice uzavřená jako podmnožina ${\displaystyle (5,15)\,\!}$, ale nikoli jako podmnožina ${\displaystyle (1,15)\,\!}$.

Související články

• Uzavřené zobrazení
• Kompaktní množina
• Obojetná množina