Stirlingova čísla

Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.

Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Stirlingova čísla jsou čísla hojně využívaná ve více oblastech matematiky, nejčastěji se s nimi můžeme setkat v matematické analýze, diskrétní matematice, zejména v kombinatorice. Byla pojmenována po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi, který je definoval v 18. století.

Stirlingova čísla dělíme na dvě kategorie:

• Stirlingova čísla prvního druhu
• Stirlingova čísla druhého druhu

Stirlingova čísla prvního druhu

Značení

Stirlingova čísla prvního druhu nejčastěji označujeme ${\displaystyle S{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}}$, dále se můžeme setkat s označením ${\displaystyle S[n;k]}$ nebo ${\displaystyle s(n;k)}$.

Definice

Stirlingova čísla prvního druhu definujeme jako „počet permutací na n-prvkové množině s k cykly“.

Tabulka hodnot

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&k\\n&\end{matrix}}}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1
7	0	720	1764	1624	735	175	21	1
8	0	5040	13068	13132	6769	1960	322	28	1
9	0	40320	109584	118124	67284	22449	4536	546	36	1

Stirlingova čísla druhého druhu

Značení

Stirlingova čísla druhého druhu nejčastěji označujeme ${\displaystyle S{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}}$, dále například ${\displaystyle S(n,k)}$.

Definice

Stirlingova čísla druhého druhu definujeme jako „počet rozkladů n-prvkové množiny na k tříd“.

Každá z těchto k tříd musí obsahovat alespoň jeden prvek.

Např. ${\displaystyle S{\begin{Bmatrix}3\\2\end{Bmatrix}}}$, neboli „počet rozkladů tří prvkové množiny na dvě třídy“ si můžeme představit následujícím způsobem.

Prvky v množině označíme jako ${\displaystyle A;B;C}$, máme tedy množinu ${\displaystyle \{A,B,C\}}$, chceme ji rozdělit na 2 množiny („třídy“).

Máme tyto možnosti:

• ${\displaystyle \{A;B\},\{C\}}$
• ${\displaystyle \{A;C\},\{B\}}$
• ${\displaystyle \{B;C\},\{A\}}$.

Rozdělení ${\displaystyle \{A;B;C\},\{\}}$ nepočítáme, protože druhá množina neobsahuje alespoň jeden prvek.

Počet možných rozkladů je 3, neboli ${\displaystyle S{\begin{Bmatrix}3\\2\end{Bmatrix}}=3}$.

Tabulka hodnot

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&k\\n&\end{matrix}}}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1