Řetízkové pravidlo

Řetízkové pravidlo, řetězové pravidlo (anglicky chain rule) neboli pravidlo o derivaci složené funkce je v matematické analýze vzorec pro derivací složené funkce. Vzorec často podstatně zjednodušuje výpočet derivace. Princip je ukryt v tom, že vlastní funkci nahradím jiným (zpravidla výhodnějším) výrazem, který lze snáze derivovat. Je ale známo, že řetízkové pravidlo pro derivování složené funkce může selhat, pokud vnitřní a vnější funkce nejsou spojitě diferencovatelné.

Věta

Nechť funkce g(x) má vlastní derivaci v bodě x₀; nechť funkce f(y) má vlastní derivaci v bodě y₀ = g(x₀). Potom má funkce f(g(x)) v bodě x₀ derivaci f'(g(x))g'(x).^[1]

Teorie

$F(x)=f(g(x)).$

potom:

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} g}}\cdot {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}$ .

Tedy vlastně:

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} g}}(g(x))\cdot {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}(x)$ – v případě jedné závislé.

Příklad 1

Zderivujte f(x,y) využitím řetízkového pravidla. 'x' si zavedeme jako závislou proměnou 't', tedy 'x(t)', totéž uděláme u 'y', tedy 'y(t,φ)'. Pokračujeme zápisem samotné funkce:

$F(t,q)=f(x(t),y(t,q)).$

A derivace z toho tedy musí být:

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}(t,q)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x(t),y(t,q))\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)+{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} y}}(x(t),y(t,q))\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t,q)$

Příklad 2

Zderivujte:

$F(x)={\frac {\mathrm {(} x+4)^{3}}{\mathrm {(} x-1)^{3}}}.$

Celé zadání příkladu si lze představit jako:

$F(x)=u^{3}$ , tedy $u={\frac {\mathrm {(} x+4)}{\mathrm {(} x-1)}}.$ Podle řetízkového pravidla potom výsledek bude:
$F'(x)=3\cdot u'\cdot u^{2}$ , což je:

$\mathrm {F'} (x)=3\cdot {\frac {\mathrm {-} 5}{\mathrm {(} x-1)^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {(} x+4)^{2}}{\mathrm {(} x-1)^{2}}}$ , což lze převést do základního tvaru:
$\mathrm {F'} (x)={\frac {\mathrm {(} -15x^{2}-120x-240)}{\mathrm {(} x-1)^{4}}}$ .

Z druhého příkladu je krásně vidět, že standardní postup by byl velmi výpočtově náročný. Proto je užití řetízkového pravidla v takových případech velmi výhodné. Řetízkové pravidlo se samozřejmě nezastaví jen u jedné proměnné, lze ho například použít k transformaci parciálních derivací do cylindrických či polárních souřadnic aj.