Sèrie de Bell

En matemàtiques, una sèrie de Bell és una sèrie de potències formal utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per Eric Temple Bell.

Donada una funció aritmètica ${\displaystyle f}$ i un nombre primer ${\displaystyle p}$, es defineix la sèrie de potències formal ${\displaystyle f_{p}(x)}$, anomenada sèrie de Bell de ${\displaystyle f}$ mòdul ${\displaystyle p}$, com a:

${\displaystyle F_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}$

Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals: això de vegades s'anomena teorema d'unicitat. Donades les funcions multiplicatives ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$, es té que ${\displaystyle f=g}$ si i només si:

${\displaystyle F_{p}(x)=g_{p}(x)}$ per a tots els nombres primers ${\displaystyle p}$.

Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com teorema de multiplicació): per a dos funcions aritmètiques qualssevol ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$, sigui ${\displaystyle h=f*g}$ la seva convolució de Dirichlet. Llavors, per a cada nombre primer ${\displaystyle p}$, es té que:

${\displaystyle H_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

Més concretament, això converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una inversa de Dirichlet.

Si ${\displaystyle f}$ és completament multiplicativa, llavors:

${\displaystyle F_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

Exemples

A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.

• La funció de Moebius ${\displaystyle \mu }$ té ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• La funció φ d'Euler ${\displaystyle \varphi }$ té ${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• La identitat multiplicadora de la convolució de Dirichlet ${\displaystyle \delta \,}$ tiene ${\displaystyle \delta _{p}(x)=1.\,}$
• La funció de Liouville ${\displaystyle \lambda }$ té ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• La funció potència Id_k té ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$ Aquí, Id_k és la funció completament multiplicativa ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$.
• La funció divisor ${\displaystyle \sigma _{k}}$ té ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.}$

Bibliografia

• Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory (en anglès). Nova York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. MR 0434929. ISBN 978-0-387-90163-3.