Cinemàtica

Es considera un sistema de referència O,x,y,z sobre el qual situem un sòlid rígid. Sobre aquest sòlid rígid situem dos punts A i B. Definim els vectors ${\displaystyle {\overrightarrow {R_{A}}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {R_{B}}}}$ com els vectors posició dels punts anteriors en el nostre sistema de referència. Definim també el vector ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ entre els punts anteriors. Llavors:

${\displaystyle {\overrightarrow {R_{B}}}={\overrightarrow {R_{A}}}+{\overrightarrow {AB}}}$

Derivant respecte del temps:

${\displaystyle {\frac {d{\overrightarrow {{R}_{B}}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {{R}_{A}}}}{dt}}+{\frac {d{\overrightarrow {AB}}}{dt}}}$

Com que, segons la definició anterior de translació, el vector ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ no varia en el temps, la seva derivada val 0. Per altra banda, la derivada d'un vector posició és el vector velocitat. Així queda:

${\displaystyle {\overrightarrow {{V}_{B}}}={\overrightarrow {{V}_{A}}}}$

D'aquesta manera queda demostrada la propietat de la translació. Si tornem a derivar una vegada més, com que totes les derivades de ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ són nul·les, obtenim que les acceleracions tampoc varien entre punts d'un sòlid rígid en translació:

${\displaystyle {\overrightarrow {{A}_{B}}}={\overrightarrow {{A}_{A}}}}$

Es considera un sistema de referència O'x'y'z' sobre el qual situem un sòlid rígid. Aquest sistema el considerarem com a fix. Considerem un nou sistema de referència Oxyz perpendicular al sòlid rígid. D'aquesta manera podem separar el moviment d'aquest sòlid rígid en una translació simple entre els dos sistemes de referència i una rotació del sòlid respecte del segon sistema de referència.

Considerem dos punts A i B pertanyents al sòlid rígid. Tal com hem fet abans podem escriure:

${\displaystyle {\overrightarrow {R_{B}}}={\overrightarrow {R_{A}}}+{\overrightarrow {AB}}\ on\ {\overrightarrow {AB}}=x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}}$

En aquest cas, ${\displaystyle {\overrightarrow {R_{A}}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {R_{B}}}}$ són respecte al sistema fix, mentre que ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ és representat sobre el sistema mòbil. Derivant respecte del temps s'anul·len algunes derivades ja que ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ respecte al sistema de referència Oxyz no varia (recordem que aquest sistema de referència es mou amb el cos):

${\displaystyle {\frac {d{\overrightarrow {{R}_{B}}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {{R}_{A}}}}{dt}}+{\frac {d\left({\overrightarrow {AB}}\right)}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {{R}_{A}}}}{dt}}+{\frac {d\left(x\cdot {\vec {i}}\right)}{dt}}+{\frac {d\left(y\cdot {\vec {j}}\right)}{dt}}+{\frac {d\left(z\cdot {\vec {k}}\right)}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {{R}_{A}}}}{dt}}+\underbrace {{\frac {dx}{dt}}{\vec {i}}} _{0}+x{\frac {d{\vec {i}}}{dt}}+\underbrace {{\frac {dy}{dt}}{\vec {j}}} _{0}+y{\frac {d{\vec {j}}}{dt}}+\underbrace {{\frac {dz}{dt}}{\vec {j}}} _{0}+z{\frac {d{\vec {k}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {{R}_{A}}}}{dt}}+x{\frac {d{\vec {i}}}{dt}}+y{\frac {d{\vec {j}}}{dt}}+z{\frac {d{\vec {k}}}{dt}}}$

A partir d'aquí podem aplicar la definició ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\frac {d{\overrightarrow {r}}}{dt}}={\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {r}}}$ (obtinguda de Moviment circular, Velocitat angular) a les derivades de ${\displaystyle {\overrightarrow {i}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {j}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {k}}}$ i arreglar les altres derivades per obtenir:

${\displaystyle {\overrightarrow {{V}_{B}}}={\overrightarrow {{V}_{A}}}+x\left({\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {i}}\right)+y\left({\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {j}}\right)+z\left({\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {k}}\right)}$

Traient factor comú ${\displaystyle {\overrightarrow {\omega }}}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {{V}_{B}}}={\overrightarrow {{V}_{A}}}+{\overrightarrow {\omega }}\times \left(x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}\right)}$

Substituint el segon membre del producte vectorial obtenim l'equació que buscàvem:

${\displaystyle {\overrightarrow {{V}_{B}}}={\overrightarrow {{V}_{A}}}+{\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}}$

Derivant aquesta expressió podem obtenir la de les acceleracions:

${\displaystyle {\frac {d{\overrightarrow {{V}_{B}}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {{V}_{A}}}}{dt}}+{\frac {d\left({\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}\right)}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {{V}_{A}}}}{dt}}+{\frac {d{\overrightarrow {\omega }}}{dt}}\times {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {\omega }}\times {\frac {d{\overrightarrow {AB}}}{dt}}}$

La derivada de ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ l'hem trobat anteriorment, al derivar la velocitat:

${\displaystyle {\overrightarrow {{A}_{B}}}={\overrightarrow {{A}_{A}}}+{\overrightarrow {\alpha }}\times {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {\omega }}\times \left({\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}\right)}$

Finalment podem simplificar l'últim terme per al cas pla operant els productes vectorials i tenint en compte que les velocitats angulars només tindran la component perpendicular al pla:

${\displaystyle {\overrightarrow {\omega }}\times \left({\overrightarrow {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}\right)=\omega {\vec {k}}\times \left(\omega {\vec {k}}\times \left(x{\vec {i}}+y{\vec {j}}\right)\right)=\omega {\vec {k}}\times \left(\omega \cdot x\cdot {\vec {j}}-\omega \cdot y\cdot {\vec {i}}\right)=-{{\omega }^{2}}\cdot x\cdot {\vec {i}}-{{\omega }^{2}}\cdot y\cdot {\vec {j}}=-{{\omega }^{2}}\left(x\cdot {\vec {i}}+y\cdot {\vec {j}}\right)=-{{\omega }^{2}}{\overrightarrow {AB}}}$

Així queda l'expressió que buscàvem:

${\displaystyle {\overrightarrow {{A}_{B}}}={\overrightarrow {{A}_{A}}}+{\overrightarrow {\alpha }}\times {\overrightarrow {AB}}-{{\omega }^{2}}{\overrightarrow {AB}}}$

on ${\displaystyle \omega =\left\|{\overrightarrow {\omega }}\right\|}$

Es considera un sistema de referència Oxyz sobre el qual situem un sistema format per sòlids rígids. Aquest sistema el considerarem com a fix. Considerem un nou sistema de referència O'x'y'z' que es trasllada i rota dins el sistema anterior (habitualment el considerarem solidari a un dels sòlids rígids, és a dir, es traslladarà i rotarà amb ell).

Considerem un punt qualsevol del nostre espai. ${\displaystyle {\overrightarrow {R}}}$ serà el vector posició d'aquest punt des del sistema fix, ${\displaystyle {\overrightarrow {R'}}}$ el vector posició del mateix punt des del sistema mòbil i finalment ${\displaystyle {\overrightarrow {O}}}$ serà el vector posició que parteix de l'origen del sistema fix (O') per acabar a l'origen del sistema mòbil (O). Llavors podrem escriure:

${\displaystyle {\overrightarrow {R}}={\overrightarrow {O}}+{\overrightarrow {{R}'}}}$

Derivem respecte del temps i del sistema de referència fix. Anomenem Ω la velocitat angular amb què gira el sistema de referència mòbil respecte del fix i ω la del punt respecte del sistema mòbil.

${\displaystyle {\frac {d{\overrightarrow {R}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {O}}}{dt}}+{\frac {d{\overrightarrow {{R}'}}}{dt}}}$

Separem les derivades per components:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}{\vec {i}}+{\frac {dy}{dt}}{\vec {j}}+{\frac {dz}{dt}}{\vec {k}}={\frac {d{{O}_{x}}}{dt}}{\vec {i}}+{\frac {d{{O}_{y}}}{dt}}{\vec {j}}+{\frac {d{{O}_{z}}}{dt}}{\vec {k}}+{\frac {d\left({x}'{\vec {i}}'\right)}{dt}}+{\frac {d\left({y}'{\vec {j}}'\right)}{dt}}+{\frac {d\left({z}'{\vec {k}}\right)}{dt}}}$

Desenvolupem cadascuna de les derivades. Les derivades de productes es desenvolupen de manera habitual. Les derivades referenciades al sistema de referència fix (la de la posició del sistema de referència mòbil, i la dels seus vectors de posició) queden com el producte vectorial de la velocitat angular deguda a la rotació a què es veu sotmès aquest punt respecte del sistema fix pel seu vector posició, com hem fet al llarg de tota la pàgina. Les derivades de productes es desenvolupen de manera habitual.

${\displaystyle {{\vec {V}}_{abs,P}}={\overrightarrow {\Omega }}\times {\overrightarrow {O}}+{x}'{\frac {d{\vec {i}}'}{dt}}+{y}'{\frac {d{\vec {j}}'}{dt}}+{z}'{\frac {d{\vec {k}}}{dt}}+{\frac {d{x}'}{dt}}{\vec {i}}'+{\frac {d{y}'}{dt}}{\vec {j}}'+{\frac {d{z}'}{dt}}{\vec {k}}={\overrightarrow {\Omega }}\times {\overrightarrow {O}}+{\overrightarrow {\Omega }}\times {\overrightarrow {{R}'}}+{{{\vec {V}}'}_{P}}={\overrightarrow {\Omega }}\times {\overrightarrow {R}}+{{{\vec {V}}'}_{P}}}$

Finalment anomenem velocitat d'arrossegament aquella provocada per la rotació del sistema de referència mòbil sobre el fix i velocitat relativa, referenciada sobre el sistema de referència mòbil, el moviment del punt considerat respecte a aquest sistema de referència mòbil.

${\displaystyle {{\vec {V}}_{abs,P}}={{\vec {V}}_{arr,P}}+{{{\vec {V}}'}_{P}}}$

A partir d'aquí podem seguir derivant (sempre respecte als eixos fixos) per trobar l'expressió per a les acceleracions relatiives.

${\displaystyle {\frac {d{{\vec {V}}_{abs,P}}}{dt}}={\frac {d\left({\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}\right)}{dt}}+{\frac {d{{{\vec {V}}'}_{P}}}{dt}}}$

La primera derivada de la dreta és la derivada d'un producte. La segona derivada, com que es troba referenciada a uns eixos que es mouen respecte dels que prenem de base a la resta de l'equació, l'haurem de derivar en base mòbil, és a dir, tenint en compte la derivada pròpiament, i sumant el canvi provocat pel moviment dels eixos en què està expressada.

${\displaystyle {{\vec {A}}_{abs,P}}={\frac {d\left({\vec {\Omega }}\right)}{dt}}\times {\vec {R}}+{\vec {\Omega }}\times {\frac {d\left({\vec {R}}\right)}{dt}}+{{\vec {{A}'}}_{P}}+\Omega \times {{{\vec {V}}'}_{P}}}$

Per denotar l'acceleració angular del sistema de referència mòbil respecte del fix s'utilitza el símbol ${\displaystyle {\dot {\Omega }}}$ ja que la lletra α majúscula es pot confondre fàcilment amb una A majúscula. A partir d'aquí substituim:

${\displaystyle {\frac {d\left({\vec {R}}\right)}{dt}}={{\vec {V}}_{abs,P}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}+{{{\vec {V}}'}_{P}}}$

I obtenim:

${\displaystyle {{\vec {A}}_{abs,P}}={\dot {\Omega }}\times {\vec {R}}+{\vec {\Omega }}\times \left({\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}+{{{\vec {V}}'}_{P}}\right)+{{\vec {{A}'}}_{P}}+\Omega \times {{{\vec {V}}'}_{P}}}$

Operant:

${\displaystyle {{\vec {A}}_{abs,P}}={\dot {\Omega }}\times {\vec {R}}+{\vec {\Omega }}\times \left({\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}\right)+{\vec {\Omega }}\times {{{\vec {V}}'}_{P}}+{{\vec {{A}'}}_{P}}+\Omega \times {{{\vec {V}}'}_{P}}={\dot {\Omega }}\times {\vec {R}}+{\vec {\Omega }}\times \left({\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}\right)+{{\vec {{A}'}}_{P}}+2\cdot \Omega \times {{{\vec {V}}'}_{P}}}$

A partir d'aquí definim:

${\displaystyle {{\vec {A}}_{abs,P}}={{\vec {A}}_{arr,P}}+{{\vec {{A}'}}_{P}}+{{\vec {A}}_{cor}}}$

On:

• ${\displaystyle {{\vec {A}}_{arr,P}}}$ és l'acceleració del punt considerat deguda al moviment del sistema de referència mòbil.
• ${\displaystyle {{\vec {{A}'}}_{P}}}$ és l'acceleració del punt considerat respecte del sistema de referència mòbil.
• ${\displaystyle {{\vec {A}}_{cor}}=2\cdot \Omega \times {{{\vec {V}}'}_{P}}}$ és l'acceleració de coriolis. És un terme que no apareix en les velocitats i que indica el canvi de direcció de la velocitat degut a una acceleració que no és paral·lela a aquesta velocitat.